1、已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x²＋1，xÎR｝，则MÇN＝（   ）

A．Æ   B. {x|x³1}   C.｛x|x>1｝  D. {x| x³1或x<0}

2、已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（   ）

A．  B.   C.   D.

3、若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于（    ）

A．<x<0或0<x<   B.－<x<   C.x<-或x>   D.x<或x>

4、设O为坐标原点，F为抛物线y²＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4

则点A的坐标是（   ）

A．（2，±2）  B. (1，±2)  C.（1，2）D.(2，2)

5、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（   ）

A．  f（0）＋f（2）<2f（1）  B. f（0）＋f（2）£2f（1）

B．  f（0）＋f（2）³2f（1）  C. f（0）＋f（2）>2f（1）

6、若不等式x²＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，〕成立，则a的取值范围是（    ）

A．0  B. ?2   C.-  D.-3

7、已知等差数列｛a_n｝的前n项和为S_n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S₂₀₀＝（   ）

A．100   B. 101  C.200  D.201

8、在（x－）²⁰⁰⁶ 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（  ）

A.2³⁰⁰⁸   B.-2³⁰⁰⁸   C.2³⁰⁰⁹   D.-2³⁰⁰⁹

9、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）²＋y²＝4和（x－5）²＋y²＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（   ）

A. 6  B.7   C.8   D.9

10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（   ）

A．  a=105  p=  B.a=105  p=  C.a=210  p=  D.a=210  p=

11、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S₁，S₂，则必有（   ）

A.     S₁<S₂

B.     S₁>S₂

C.     S₁=S₂

D.     S₁，S₂的大小关系不能确定

12、某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（    ）

理科数学

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。

13、数列｛｝的前n项和为S_n，则S_n＝______________

14、设f（x）＝log₃（x＋6）的反函数为f^－1（x），若〔f^－1（m）＋6〕〔f^－1（n）＋6〕＝27

则f（m＋n）＝___________________

15、如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC₁＝，P是BC₁上一动点，则CP＋PA₁的最小值是___________

16、已知圆M：（x＋cosq）²＋（y－sinq）²＝1，

直线l：y＝kx，下面四个命题：

（A）     对任意实数k与q，直线l和圆M相切；

（B）      对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；

（C）      对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与

和圆M相切

（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与

和圆M相切

其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

17、（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（1）       求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（2）       若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c²恒成立，求c的取值范围。

18、（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：

（1）x的分布列   （2）x的的数学期望

19、（本小题满分12分）

如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，

设ÐMGA＝a（）

（1）       试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S₁与S₂）

表示为a的函数

（2）       求y＝的最大值与最小值

20、（本小题满分12分）

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

（1）       求证：AD^BC

（2）       求二面角B－AC－D的大小

（3）       在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

21、（本大题满分12分）

如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点

（1）       求点P的轨迹H的方程

（2）       在Q的方程中，令a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£ ），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

22、（本大题满分14分）

已知数列｛a_n｝满足：a₁＝，且a_n＝

（1）       求数列｛a_n｝的通项公式；

（2）       证明：对于一切正整数n，不等式a₁?a₂?……a_n<2?n！

2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。

4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：

如果时间A、B互斥，那么

如果时间A、B相互独立，那么

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式，其中R表示球的半径

球的体积公式，其中R表示球的半径

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

1、已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x²＋1，xÎR｝，则MÇN＝（ C  ）

A．Æ   B. {x|x³1}   C.｛x|x>1｝  D. {x| x³1或x<0}

解：M＝｛x|x>1或x£0｝，N＝｛y|y³1｝故选C

2、已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（ D  ）

A．  B.   C.   D.

解：故选D

3、若a>0，b>0，则不等式－b<<a等价于（ D   ）

A．<x<0或0<x<   B.－<x<   C.x<-或x>   D.x<或x>

解：

故选D

4、设O为坐标原点，F为抛物线y²＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4

则点A的坐标是（B   ）

A．（2，±2）  B. (1，±2)  C.（1，2）D.(2，2)

解：F（1，0）设A（，y₀）则＝（ ，y₀），＝（1－，－y₀），由

? ＝－4Þy₀＝±2，故选B

5、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ C  ）

C．  f（0）＋f（2）<2f（1）  B. f（0）＋f（2）£2f（1）

C.  f（0）＋f（2）³2f（1）  D. f（0）＋f（2）>2f（1）

解：依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有

f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C

6、若不等式x²＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，）成立，则a的取值范围是（ C   ）

A．0  B. ?2   C.-  D.-3

解：设f（x）＝x²＋ax＋1，则对称轴为x＝

若³，即a£－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）³0Þ

－£x£－1

若£0，即a³0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1>0恒成立，故a³0

若0££，即－1£a£0，则应有f（）＝恒成立，故－1£a£0

综上，有－£a故选C

7、已知等差数列｛a_n｝的前n项和为S_n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S₂₀₀＝（ A  ）

A．100   B. 101  C.200  D.201

解：依题意，a₁＋a₂₀₀＝1，故选A

8、在（x－）²⁰⁰⁶ 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（B  ）

A.2³⁰⁰⁸   B.-2³⁰⁰⁸   C.2³⁰⁰⁹   D.-2³⁰⁰⁹

解：设（x－）²⁰⁰⁶＝a₀x²⁰⁰⁶＋a₁x²⁰⁰⁵＋…＋a₂₀₀₅x＋a₂₀₀₆

则当x＝时，有a₀（）²⁰⁰⁶＋a₁（）²⁰⁰⁵＋…＋a₂₀₀₅（）＋a₂₀₀₆＝0 （1）

当x＝－时，有a₀（）²⁰⁰⁶－a₁（）²⁰⁰⁵＋…－a₂₀₀₅（）＋a₂₀₀₆＝2³⁰⁰⁹ （2）

（1）－（2）有a₁（）²⁰⁰⁵＋…＋a₂₀₀₅（）＝－2³⁰⁰⁹¸2＝－2³⁰⁰⁸

故选B

9、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）²＋y²＝4和（x－5）²＋y²＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D  ）

A. 6  B.7   C.8   D.9

解：设双曲线的两个焦点分别是F₁（－5，0）与F₂（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F₁三点共线以及P与N、F₂三点共线时所求的值最大，此时

|PM|－|PN|＝（|PF₁|－2）－（|PF₂|－1）＝10－1＝9故选B

10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（  A ）

B．  a=105  p=  B.a=105  p=  C.a=210  p=  D.a=210  p=

解：a＝＝105

甲、乙分在同一组的方法种数有

（1）       若甲、乙分在3人组，有＝15种

（2）       若甲、乙分在2人组，有＝10种，故共有25种，所以P＝

故选A

11、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S₁，S₂，则必有（   ）

A.     S₁<S₂

B.     S₁>S₂

C.     S₁=S₂

D.     S₁，S₂的大小关系不能确定

解：连OA、OB、OC、OD

则V_A－BEFD＝V_O－ABD＋V_O－ABE＋V_O－BEFD

V_A－EFC＝V_O－ADC＋V_O－AEC＋V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S_ABD＋S_ABE＋S_BEFD＝S_ADC＋S_AEC＋S_EFC又面AEF公共，故选C

12、某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（  A  ）

解：结合平均数的定义用排除法求解

理科数学

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。

13、数列｛｝的前n项和为S_n，则S_n＝

13、解： 

故

14、设f（x）＝log₃（x＋6）的反函数为f^－1（x），若〔f^－1（m）＋6〕〔f^－1（n）＋6〕＝27

则f（m＋n）＝___________________

解：f^－1（x）＝3^x－6故〔f^－1（m）＋6〕?〔f^－1（x）＋6〕＝3^m?3ⁿ＝3^{m ＋n}＝27

\m＋n＝3\f（m＋n）＝log₃（3＋6）＝2

15、如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC₁＝，P是BC₁上一动点，则CP＋PA₁的最小值是___________

解：连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，如图所示，

连A₁C，则A₁C的长度就是所求的最小值。

通过计算可得ÐA₁C₁C＝90°又ÐBC₁C＝45°

\ÐA₁C₁C＝135° 由余弦定理可求得A₁C＝

16、已知圆M：（x＋cosq）²＋（y－sinq）²＝1，

直线l：y＝kx，下面四个命题：

（D）     对任意实数k与q，直线l和圆M相切；

（E）      对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；

（F）      对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与

和圆M相切

（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与

和圆M相切

其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

解：圆心坐标为（－cosq，sinq）d＝

故选（B）（D）

17、（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值

（3）       求a、b的值与函数f（x）的单调区间

（4）       若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c²恒成立，求c的取值范围。

17、解：（1）f（x）＝x³＋ax²＋bx＋c，f¢（x）＝3x²＋2ax＋b

由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得

a＝，b＝－2

f¢（x）＝3x²－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：

x

（－¥，－）

－

（－，1）

1

（1，＋¥）

f¢（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

­

极大值

¯

极小值

­

所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥）

递减区间是（－，1）

（2）f（x）＝x³－x²－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c

为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

要使f（x）<c²（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c²>f（2）＝2＋c

解得c<－1或c>2

18、（本小题满分12分）

某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：

（1）x的分布列   （2）x的的数学期望

18、解：（1）x的所有可能的取值为0，10，20，50，60

分布列为

x

0

10

20

50

60

P

(2)Ex＝3.3

19、（本小题满分12分）

如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，

设ÐMGA＝a（）

（3）       试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S₁与S₂）

表示为a的函数

（4）       求y＝的最大值与最小值

19、解：

（1）       因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以   AG＝，ÐMAG＝，

由正弦定理

得

则S₁＝GM?GA?sina＝

同理可求得S₂＝

（2）       y＝＝

＝72（3＋cot²a）因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值y_max＝240

当a＝时，y取得最小值y_min＝216

20、（本小题满分12分）

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD

是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，

且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

（4）       求证：AD^BC

（5）       求二面角B－AC－D的大小

（6）       在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD

成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。

20、解法一：

（1）       方法一：作AH^面BCD于H，连DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

\AB＝＝BC＝AC  \BD^DC

又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DH^BC\AD^BC

方法二：取BC的中点O，连AO、DO

则有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD

\BC^AD

（2）       作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，则ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝\M是AC的中点，且MN¤¤CD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ÐBMN＝arccos

（3）       设E是所求的点，作EF^CH于F，连FD。则EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED与面BCD所成的角，则ÐEDF＝30°。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，FD＝，\tanÐEDF＝＝＝解得x＝，则CE＝x＝1

故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角。

解法二：此题也可用空间向量求解，解答略

21、（本大题满分12分）

如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点

（3）       求点P的轨迹H的方程

（4）       在Q的方程中，令a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£ ），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

21、解：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）

上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又设P点坐标为P（x，y），则

1°当AB不垂直x轴时，x₁¹x₂，

由（1）－（2）得

b²（x₁－x₂）2x＋a²（y₁－y₂）2y＝0

\b²x²＋a²y²－b²cx＝0…………（3）

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）

故所求点P的轨迹方程为：b²x²＋a²y²－b²cx＝0

（2）因为，椭圆  Q右准线l方程是x＝，原点距l

的距离为，由于c²＝a²－b²，a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£）

则＝＝2sin（＋）

当q＝时，上式达到最大值。此时a²＝2，b²＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1

设椭圆Q：上的点 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），三角形ABD的面积

S＝|y₁|＋|y₂|＝|y₁－y₂|

设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k²）y²＋2ky－1＝0

由韦达定理得y₁＋y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝（y₁－y₂）²＝（y₁＋y₂）²－4 y₁y₂＝

令t＝k²＋1³1，得4S²＝，当t＝1，k＝0时取等号。

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。

22、（本大题满分14分）

已知数列｛a_n｝满足：a₁＝，且a_n＝

（3）       求数列｛a_n｝的通项公式；

（4）       证明：对于一切正整数n，不等式a₁?a₂?……a_n<2?n！

22、解：

（1）       将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为

1－＝，公比，从而1－＝，据此得a_n＝（n³1）…………1°

（2）       证：据1°得，a₁?a₂?…a_n＝

为证a₁?a₂?……a_n<2?n！

只要证nÎN^*时有>…………2°

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN^*，有

³1－（）…………3°

用数学归纳法证明3°式：

（i）                    n＝1时，3°式显然成立，

（ii）                  设n＝k时，3°式成立，

即³1－（）

则当n＝k＋1时，

³〔1－（）〕?（）

＝1－（）－＋（）

³1－（＋）即当n＝k＋1时，3°式也成立。

故对一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－（）＝1－

＝1－>

故2°式成立，从而结论成立。