2006年佛山市高考模拟考试
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题
卡上.用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上.在答题卡右上角的“试
室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B铅笔将相应的试室号、座
位号信息点涂黑.
2． 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使
用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4． 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互独立，那么P(A?B)=P(A)?P(B).
第Ⅰ卷 选择题(共50分)
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且
1． 不等式
的解集是( ).
A．
B．
∪
C． 
D．∪
2． 向量a = (1,2)，b = (x,1)，c = a + b，d = a - b，若c//d，则实数x的值等于( ).
A．
B．
C．
D． 
3． 已知下列命题(其中
为直线，
为平面)：
① 若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
③ 若
，
，则
；
④ 若，则过
有唯一与
垂直.
上述四个命题中，真命题是( ).
A．①，② B．②，③ C．②，④ D．③，④
4． 已知
，则
的值是( ).
A．
B．
C．
D．
5． 下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是( ).
A. p：
； q：
.
B. p：在△ABC中，若
，则
；
q：
在第一象限是增函数.
C. p：
；
q：不等式
的解集是
.
D. p：圆
的面积被直线
平分；
q：椭圆
的一条准线方程是
.
6． 若
的反函数为
，且
，则
的最小值是( ).
A．
B．
C．
D．
7． 设复数
，则
的展开式（按
升幂排列）的第5项是( ).
A．
B．
C．
D．
8. 设动点A, B（不重合）在椭圆
上，椭圆的中心为O，且
，
则O到弦AB的距离OH等于( ).
A．
B．
C．
D．
9． 函数
对
都有
.若
，
，
则数列
的前n项和
的极限是( ).
A．
B．
C．
D．
10．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要到第2层至第20层，每
层1人.电梯只在中间某一层停1次，可知电梯在第3层停的话，则第3层下的人最
满意，其中有1人要下到第2层，有17人要从第3层上楼，就不太满意了.假设乘客
每向下走一层的不满意度为1，向上走一层的不满意度为2，所有的不满意度之和为S，
为使S最小，则电梯应当停在( ).
A．第12层 B．第13层 C．第14层 D．第15层
第Ⅱ卷 非选择题(共100分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知
是R上的连续函数，则
.
12．已知
则
的最大值是 ，
的最小值是 .
13．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6}，B={1, 3, 5, 7, 9}， 集合C是从A∪B中任取2个元素组成的集
合，则
∩
的概率是____________.
14、观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形.
 |
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）
已知函数
（
）的图象在
轴右侧的第一个最高点为
，与
轴在原点右侧的第一个交点为
.
(1) 求函数
的解析式；
(2) 函数的图象是由的图象通过怎样的变换而得到的？
16.（本小题满分12分）
下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有50人，成绩分为5个档次，如表中所示
英语成绩为5分、数学成绩为4分的学生有3人。若在全班学生中任选一人，其英语
数 学
5
4
3
2
1
英
语
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
b
6
0
a
1
0
0
1
1
3
语成绩记为，数学成绩记为.
(1) 的概率是多少？
且
的
概率是多少？
(2) 若的期望为
，试确定a,b的值.
17．（本小题满分14分）
四棱锥P―ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD
是∠ADC
的菱形，M为PB的中点，Q为CD的中点.
(1) 求证：PA⊥CD；
(2) 求AQ与平面CDM所成的角.
18．（本小题满分14分）
已知函数
的图象为曲线E.
(1) 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；
(2) 说明函数可以在
和
时取得极值，并求此时a,b的值；
(3) 在满足(2)的条件下，
在
恒成立，求c的取值范围.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆
过点
，且与
的交于,.
(1) 用表示,的横坐标；
(2) 设以为焦点，过点,且开口向左的抛物线的顶点坐标为
，求实数
的取值范围．
20．（本小题满分14分）
设f1(x)=
，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =
（n∈N*）.
(1) 求数列｛an｝的通项公式；
(2) 若
，Qn=
（n∈N*），试比较9T2n与
Qn的大小，并说明理由.
2006年佛山市高考模拟考试
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
A
C
B
A
C
B
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中12题的第一个空3分，第二
个空2分.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
15．解：(1) 根据题意，可知
，
，即
. ……………………………2分
于是
. ………………………………………………………………………………………………3分
将点
代入
，得
即
. …………………………………………………………5分
满足的最小正数
. ……………………………………………………………7分
从而所求的函数解析式是
. ……………………………………………8分
(2)略.（振幅变换1分.周期变换、相位变换做对一个2分，全对3分） ……12分
16．解：显然
是随机变量.
(1)
.
. …………………………………6分
(2)由
的期望为
，得
，即
. …………………9分
根据表中数据，得
，即
. ………………………………………………11分
联立解得
. …………………………………………………………………………………………12分
17.解：(1)连结PQ，AQ.
∵△PCD为正三角形， ∴PQ⊥CD.
∵底面ABCD是∠ADC
的菱形，∴AQ⊥CD.
∴CD⊥平面PAQ. ………………………………………………………………………………………………4分
∴PA⊥CD.
(2)设平面CDM交PA于N，∵CD//AB， ∴CD//平面PAB. ∴CD//MN.
由于M为PB的中点，∴N为PA的中点. 又PD=CD=AD，∴DN⊥PA.
由(1)可知PA⊥CD， ∴PA⊥平面CDM. ………………………………8分
∴平面CDM⊥平面PAB.
∵PA⊥平面CDM，联接QN、QA，则ÐAQN为AQ与平面CDM所成的角. ……10分
在RtDPMA中，AM=PM=
，
∴AP=
，∴AN=
，sinÐAQN=
=
.
∴ÐAQN =45°.…………………………………………………14分
(2)另解（用空间向量解）：
由(1)可知PQ⊥CD，AQ⊥CD.
又由侧面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ.
因此可以如图建立空间直角坐标系
. ………………………………………………………6分
易知P(0 , 0 ,)、A(, 0 , 0)、B(, 2 , 0)、
C（0 , 1 , 0）、D（0 , -1 , 0）. ………………………………………………………………………………7分
①由
=（, 0 , -），
=（0 , -2 , 0），得
×
=0.
∴PA⊥CD. ……………………………………………………………………………………………………………9分
②由M（
, 1 , -），
=（, 0 , -），得×
=0.
∴PA⊥CM . ……………………………………………………………………10分
∴PA⊥平面CDM，即平面CDM⊥平面PAB.
从而就是平面CDM的法向量.………………………12分
设AQ与平面所成的角为q ，
则sinq =|cos<
,>|=
.
∴AQ与平面所成的角为45°.……………………14分
18．解：(1)根据题意，
有解，
∴
即
. ……………………………………………………………………………3分
(2)若函数
可以在
和
时取得极值，
则有两个解和，且满足.
易得
. ………………………………………………………………………………………………6分
(3)由(2)，得
. ………………………………………………………………7分
根据题意，
(
)恒成立. ……………………………………………9分
∵函数
（）在时有极大值（用求导的方法），
且在端点
处的值为
.
∴函数（）的最大值为. …………………………13分
所以
. …………………………………………………………………………………………………………14分
19．解：(1)由于椭圆
过点
，故
.…………………………………1分
,
横坐标适合方程
解得
(
即
)．………………………………………………………4分
即,横坐标是(即).……………………………………5分
(2)根据题意，可设抛物线方程为
． …………………6分
∵
，∴
．………………………………………………………………7分
把
和（等同于,坐标（
，
））代入式抛物线方
程，得
. ……………………………………9分
令
．……………………………………10分
则
内有根（并且是单调递增函数），
∴
………………………………………………………………13分
解得
． …………………………………………………………………………………………14分
20．解：（1）∵f1(0)=2，a1=
=
，fn+1(0)= f1［fn(0)］=
, …………2分
∴an+1=
=
=
= -
= -an. ……………4分
∴数列｛an｝是首项为,公比为-的等比数列，∴an=(
)n-1. ………………5分
（2）∵T2 n = a1+
∴T2 n= (-a1)+(-)))(2n-1)a2 n－1+
2na2 n
= a 2+
两式相减，得
T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. ……………………………………………………7分
∴T2n =
+n×(-)2n-1=
-(-)2n+
(-)2n-1.
T2n =
-(-)2n+
(-)2n-1=(1-
). ……………9分∴9T2n=1-.
又Qn=1-
， ……………………………………………………………………………………………10分
当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n＜Q n； ……………………………………………………11分
当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n＜Qn； …………………………………………………12分
当n≥3时，
，
∴9T2 n＞Q n. …………………………………………………………………………………………………………14分
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