组合应用
【复习填空】
1. 试说明排列与组合定义的要点.
2. = = = .
3. 组合数的性质① ；② .
4.①从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共 有 种不同的选法；
②平面内有12个点，任何3点不在同一条直 线上，以每3点为顶点画一个三角形，一共可画出 个；
③10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同 的分工方法有 种；
④有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、又若其中6道必答，共有 不同的种选法.
【例题与练习】
1.有13个队参加篮球赛，比赛时先分成两组，第一组7个队，第二组6个队.各组都进行单循环赛（即每队都要与本组其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决定冠、亚军，共需要比赛多少场？
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种不同的选法？
①无任何限制条件；
②正、副班长必须入选；
③正、副班长只有一人入选；
④正、副班长都不入选；
⑤正、副班长至少有一人入选；
⑥正、副班长至多有一人入选；
小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
3.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？
①无任何限制条件；
②全是正品；
③只有2件正品；
④至少有1件次品；
⑤至多有2件次品；
⑥次品最多.
【课后检测】
1.9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件
产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）
A. B. C. D.
2.从8名男生和6名女生中挑选3人，最多选2名女生的选法种数为（ ）
A.288 B.344 C.364 D.624
3.有4名男生和5名女生，从中选出5位代表：
（1）要求男生2名，女生3名且某女生必须在内的选法有 种；
（2）要求男生不少于2名的选法有 种.
4.从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中 ，每次任取两个，和为偶数的取法有 种.
5.圆上有10个点：
（1）过每2点可画一条弦，一共可画多少条弦？
（2）过每3点可画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？
8.（1）凸五边形有多少条对角线？
（2）凸n边形有多少条对角线？
9.某校高中一年级有6个班，高二年级有5个班，高三年级有8个班.各年级分别进行班与班的排球单循环赛，一共需要比赛多少场？
【复习填空】
1.排列与组合的共同点是：
不同点是：
2. = .0！= .
3. = = 、 .
4. 、 、 、 、 .
【例题与练习】
1.求下列各题中的n的值.
(1) ； (2)
小结：①注意约简，②用排列数和组合数公式将等式转化为n的一元方程解之.
2.证明下列恒等式
（1）； （2）
小结：组合数的性质：① ②
性质①常用来简化运算，性质②通常用来证明组合恒等式.
练习：
、若，则x的值是 .
3.求证（1）；（2）
【课后检测】
1.若，则n等于（ ）
A.8 B.7 C.6 D.4
2.已知m、n、xÎN且，那么m,n间的关系是( )
A.m=n B.m+n=x C.m=n或m+n=x D.m=n或m-n=x
3. =( )
A. B. C. D.
4.已知则m= .
5.根据条件,求x的值.
(1)若,则x= ；(2)若,则x= ；
(3)若,则x= ；(4)若,则x= ；
6.利用组合数的性质进行计算
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
7.解下列方程或不等式
（1）； *（2）
（3）
【复习】
1.什么叫排列？什么叫排列数？写出排列数公式，并用阶乘表示.
2.指出下列问题是否是排列问题？
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？以上两个问题有何区别？
（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？
（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？
【组合的概念】
1. 定义：
2. 组合与排列的区别：
3. 相同的组合：
4. 组合数：
5. 组合数公式：
【应用举例】
1.下面的问题中属于组合的是（在括号内打√）
（1）集合{0，1，2，3，4}的含两个元素的子集的个数是多少？…………………（ ）；
（2）五个足球队进行循环赛，共要比赛多少场？……………………………… （ ）；
（3）从1~9中取2个相加，有多少个不同的和？………………………………… （ ）
如果相减，有多少个不同的差？…………………………………………… （ ）；
（4）由没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段？……………………… （ ）
如果连成有向线段，共有多少条？………………………………………… （ ）；
（5）某小组有9位同学，从中选出正副班长各一人，有多少种不同的选法？… （ ）
若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？………………（ ）
2.列举从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的所有的组合和排列.
3.计算（1） （2） （3） （4）
4. P243练习5（1）、（2）、（4）、（6）
【课后检测】
1.下面几个说法中 正确的是个数是…………………………………………………（ ）
①组合数就是一个组合中元素的个数；
②两个组合中的元素完全相同也可能是不同的组合；
③从n个元素中抽取m(mㄑn)个元素的排列，可以看作先从n个元素中抽取m个进行组合，再对m个元素进行全排列.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下面各式中，不正确的是……………………………………………………………（ ）
A.0！=1 B.=n C. D.
3.计算的值是…………………………………………………………………（ ）
A.64 B.80 C.13464 D.40
4.已知a,b,c,d,e五个元素，试写出每次取出3个元素的所有组合为：
5.求值： ； .
6.判断下列各命题是排列问题还是组合问题：
(1)从五种不同的水稻良种中，选出3种：
①分别种在土质一样的三块田里作试验，有多少种方法？ 是 问题.
②分别种在土质不同的三块田里作试验，有多少种方法？ 是 问题.
(2)从50件不同的产品中抽出5件来检查，有多少种不同的抽法？ 是 问题.
(3)五个人中互送照片一张，共送了多少张照片？ 是 问题.
(4)平面内有不共线的三点：
①过其中任意两点作直线，一共可以作多少条直线？ 是 问题.
②以其中一点为端点，并过另一点的射线有多少条？ 是 问题.
(6) ①从5本不同的书中选出2本借给某人，有多少种不同的借法？ 是 问题.
②若从5本不同的书中选出2本分别借给甲、乙两人，又有多少种不同的借法？
是 问题.
7.用排列数或组合数表示下列问题，并计算出结果.
（1）从3、4、5、7四个数字中每次取出两个.
①构成多少个不同的分数？ 答案
②可以构成多少个不同的真分数？ 答案
（2）从10名同学在任选出3名同学.
①担任三种不同的职务，有多少种不同的选法？ 答案
②组成一个代表队参加数学竞赛，有多少种不同的选法？ 答案
（3）从10本不同的书中任选3本.
①个同学每人一本，有多少种不同的借法？ 答案
②借给一个同学，有多少种不同的借法？ 答案
8. 已知点P（4，6），F为抛物线x2=4y的焦点，点M在抛物线上移动，则MP|+|MF|
的最小值为 ，取得最小值时点M的坐标为 .
等可能性事件的概率
1、 盒中有100个铁钉，其中90个是合格的10个是不合格的，从中任意抽取10个，其中没有一个是不合格铁钉的概率是（）
A、0.9 B、
C、0.1 D、
2、 某小组有成员3人，每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为（）
A、
B、
C、
D、
3、 十个人站成一排，其中甲乙丙三人恰巧站在一起的概率为（）
A、
B、
C、
D、
4、 从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这两位数大于40的概率是（）
A、1/5 B、2/5 C、3/5 D、4/5
5、200名青年工人，250名大学生，300名青年农民在一起联欢，如果任意找其中一名青年谈话，这个青年是大学生的概率是 。
6、袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，从中任意取出3个，则取出的3个都是红球的概率是 。
7、圆周上有十个等分圆周的点，从这十个点中，任取三点为顶点作一个三角形，则所作的三角形是直角三角形的概率是 。
8、6位同学参加百米赛跑初赛，赛场共有6条跑道，其中甲同学恰好被排在第一道，乙同学恰好被排在第二道的概率为 。
9、从6双规格相同颜色不同的手套任取4只，其中恰有两只成双的概率是多少？
（提示：先取一种颜色，保证两只成双，然后再取两种颜色，从每种颜色中各取一只。）
答案：
10、从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率
（1） 三个数字完全不同；
（2） 三个数字中不含1和5；
（3） 三个数字中5恰好出现两次
11、从0，1，2，…，9这十个数字中任取不同的三个数字，求三个数字之和等于10的概率。
12、9国乒乓球队，内有3个亚洲球队，抽签分成三组进行预赛（每组3个队）试求：
（1） 三个组中各有一个亚洲球队的概率；
（2） 3个亚洲球队集中在某一组的概率。
答案：1、D 2、C 3、A 4、B 5、1/3 6、7/24 7、1/3 8、1/30 9、16/33
10、（1）12/25 （2）27/125 （3）12/125
11、1/15 13、（1）9/28 （2）1/28
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相互独立事件同时发生的概率
----相互独立事件及其同时发生的概率
山西省平遥中学 常毓喜
【教学目的】
1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；
2．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想；
【教学重点】
用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；
【教学难点】
互斥事件与相互独立事件的区别；
【教学用具】
投影仪、多媒体电脑等。
【教学过程】
相互独立事件同时发生的概率
例1、 某种零件经过三道工序加工才是成品，第一道工序的合格率是95%，第二道工序的合格率是98%，第三道工序的合格率是99%，假定这三道工序互不影响，那么成品的合格率是多少？（结果精确到0.01）
例2、 某人参加一次考试,若五道题中解对四题为及格，已知他解题的正确率为3/5，试求他能及格的概率？（结果保留四个有效数字）
例3、 设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，试求：
（１） 同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；
（２） 若又一架敌机侵犯，要以99%的概率击中它，问需多少门高炮？
随堂练习：
１、 甲乙两人下象棋，每下三盘，甲平均能胜三盘，若两个下五盘棋，甲至少胜三盘的概率是多少？
２、 一批产品有30%的一级品，现进行重复抽样检查，共取出5个样品，试求：
（１） 取出的5个样品恰有2个一级品的概率；
（２） 取出的5个样品中至少有2个一级品的概率。
３、 在抗菌素的生产中，需要培养优良的菌株，若一只菌株变成优良菌株的概率是0.05，那么从大批经过诱变处理的菌株中，选择多少进行培养，才能有95%的把握至少选到一只优良菌株？
4、一个通讯小组有两套相同的通讯设备，每套设备都由A、B、C三个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作（即不以进行通讯）假定三个部件不出故障的概率分别是：P(A)=0.95 P(B)=0.90 P(C)=0.99求：
（１） 打开一套设备能进行通讯的概率；
（２） 同时打开两套设备能进行通讯的概率。
例1 P=0.92 例2 P=0.3370 例3 (1)0.84 (2)6
1.64/81 2. (1)0.3087 (2)0.4718 3. 59株 4. (1) 0.84645 (2) 0.9764
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4. 含有条件的排列组合应用题：
例1：某班有男生25人，女生21人，现选男生3人，女生2人分别担任正、副班长、学委、体委、宣委，问有多少种不同的选举方法？
上题中，（1）如果由25名男生中选3人担任班长、学委、体委，女生中选2人担任副班长、宣委，问有多少种不同的选法？
（2）若25名男生中选3人，21名女生中选2人，分别担任正、副班长、学委、体委、宣委，若正班长必须由男生担任，问有多少种不同的选法？
例2：从1到9这9个数字中取5个数字排列，奇数只能排在个位、十位或百位，问这样的无重复的五位数有多少个？
例3： 4人分住两个房间，每个房间至少住进1人，求不同的安排方法数？
例4：圆周上有8个点，将圆周等分，那么以其中的3个点为顶点的直角三角形共有 个.
（A）12 （B）16 （C）24 （D）48
课后练习与检测：
1.①8人站成一排，不同的站法有 种.
（A）10080 （B）13440 （C）20160 （D）40320.
②6人站成一排，甲不站头，乙不站尾，不同的站法有 种.
（A）504 （B）480 （C）360 （D）240.
③5件不同礼品分送给4人，每人至少一件，而且礼品全部送出，那么送出礼品的方法数是 .
（A）960 （B）480 （C）240 （D）120.
④4个小组，分别从3个风景点中选一处进行观光旅游，不同的选择方案的种数是 .
（A） （B） （C）34 （D）43
2.书架上竖排着六本数，现将新购的3本书上架，要求不调乱书架上原有的书，那么不同的上架方式共有多少种？
（选做）3.小李打算从10位朋友中邀请4位去旅游，这10位朋友中，有一对双胞胎，对这两位朋友，要么邀请，要么不邀请.求不同的邀请方案的种数.
【概念复习】
1. 排列的定义：
2. 排列数公式：
【应用举例】
1. 判断下列问题是否是排列问题：
① 从7名同学中选3人去完成3种不同的工作，每人完成一种，有多少种不同的选派方法…………………………………………………………………………（ ）
② 从7名同学中选3人去某地参加一个会议…………………………………（ ）
③ 设m、n，则可以构成多少个焦点在x轴的椭圆（ ）
④ 从6名同学中选4人，参加4´100m接力赛，有多少种不同的参赛方案……（ ）
小结1：判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关，若与顺序有关则是排列，否则不是.
2. 用0、1、2、3、4、5、6组成满足下列条件的数各多少个？
① 无重复数字的四位数；
② 无重复数字的四位数偶数；
③ 无重复数字的四位数且能被5整除；
④ 个位数字大于十位数字的四位数.
小结2：解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素战位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位
3. 三个男生和四个女生安下列条件排成一排有多少种排法？
① 男生排在一起，女生排在一起有；
② 男女生间隔相排；
③ 男生互不相邻；
④ 甲乙两人必须相邻.
小结3：解决相邻问题通常用捆绑的办法；不相邻问题通常用插入的办法.
【检测练习】
1.用1、2、3、4、5这5个数字组成没有重复数字的3位数，其中偶数共有……（ ）
A.24 B.30 C.40 D.60
2.有9个男生，5个女生排成一排，要求女生排在一起(中间不能有男生)，不同的排
有（ ）种………………………………………………………………………………（ ）
A. B. C. D.2
3.用1，2，3，4，5，6，7这7个数字作全排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，这样的七位数共有………………………………（ ）
A. B. C. D.3
4.用0，2，4，6，9五个数字组成无重复数字的五位偶数，共有（ ）个
A. B. C. D.
5.用数字0，1，2，3，4能组成没有重复数字且比20000大的五位数奇数共有 ( )个
A.36 B.30 C.72 D.18
6.有3位老师和5位学生照相，如果老师不排在最左边且老师不相邻，则不同的排法种数是（ ）
A. B. C. D.
7.一台晚会有6个节目，其中有两个小品，如果两个小品不连续演出，共有不同的演出顺序 种
8.用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？五位奇数？五位偶数？
9.某班一天六节课：语文、英语、数学、物理、体育、自习.按下列要求，分别有多少种排课方法
①第一节不排体育、自习；
②数学不排下午，体育不排在第一、四节.
【几何复习题】
求双曲线x2-4y2=-8的焦点、顶点坐标，取值范围，实轴、虚轴的长，渐近线、准线、共轭双曲线的方程，离心率，两准线的距离.
【概念复习】
1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 .表示为 .
2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
4. 从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数是 .
5. 什么叫全排列？n个元素的全排列表示为 = ，这是 个连续自然数的积，n个元素的全排列叫做 ，表示为 .
6. 用全排列（或阶乘）表示的排列数公式为 .
【例题与练习】
1. 计算：
①= ②= = ④=
⑤= ⑥= =
2. 某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
3. 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
小结：解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素的个数，即n、m的值.
4. 用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数 个.
5. 用排列数表示下列各式：
① 10´9´8´7´6= ② 24´23´22´…´3´2´1=
③ n?(n-1) ?(n-2) ?(n-3)=
6.①从x个不同元素中任取3个的排列数为720，则x= ；
②，求x的值.
小结：解有关排列数的方程关键在于用排列数公式将方程转化为关于x的一元方程.
【课后检测】
1.由数字1、2、3、4、5、6可以组成没有重复数字的五位数 个；
自然数 个；三位数 个.
2.5个人排成一排，共有 种不同的排法.
3.从5个人中任选两人分别担任班长和团书记，所有选法的总数为 .
4.求下列各式中的n：
① ② ③
5.求证：① ②
③
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