．在直角坐标系中，已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3)，D为x轴上一点．若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，这样的D点有（ ）答案解析

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（2013•从化市一模）如图，在直角坐标系中，已知点A（-4，0），B（0，3），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是

（24，0）

（24，0）

，第（2013）的直角顶点的坐标是

（8052，0）

（8052，0）

．

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在直角坐标系中，已知点A（-3，0），点B（0，4），点C是x轴上一点，若△ABC是等腰三角形，试求点C的坐标．

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如图，在直角坐标系中，已知点A（1，

3

），O是坐标原点．若连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OB，则点B的坐标是（　　）

A、（ 3 ，-1）

B、（ 3 ，-1）或（- 3 ，1）

C、（- 3 ，1）

D、以上答案都不对

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如图，在直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，OP_n（n为正整数），则点P₆的坐标是

 

；△P₅OP₆的面积是

 

．

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（2012•泉州质检）如图，在直角坐标系中，已知A（0，3）、O（0，0）、C（6，0）、D（3，3），点P从C点出发，沿着折线C-D-A运动到达点A时停止，过C点作直线GC⊥PC，且与过O、P、C三点的⊙M交于点G，连接OP、PG、OD．设点P运动路线的长度为m．
（1）直接写出∠DCO的度数；
（2）当点P在线段CD上运动时，求△OPG的最小面积；
（3）设圆心M的纵坐标为n，试探索：在点P运动的整个过程中，n的取值范围．

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如图，在直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n（n为正整数）．我们规定：把点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，…）的横坐标x_n、纵坐标y_n都取绝对值后得到的新坐标（|x_n|，|y_n|）称之为点P_n的“绝对坐标”．则P_n的“绝对坐标”为（　　）

A、（2n-1 2 ，2n-1 2 ）或（2n，0）

B、（2n，0）或（0，2n）

C、（0，2n）或（2n-1 2 ，2n-1 2 ）

D、（2n-1 2 ，2n-1 2 ）或（2n，0）或（0，2n）

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（2012•新疆）如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．

（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是

正方形

正方形

，请说明理由；
（2）如图2，已知D（-

1

2

，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；
（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A-B-C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？

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（2013•徐州模拟）如图，在直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n（n为正整数），则点P₂₀₁₁的坐标为（　　）

A．（-22011，0）	B．（- 2 ?22011， 2 ?22011）
C．（0，-22011）	D．（- 2 ?22010， 2 ?22010）

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（2007•攀枝花）如图，在直角坐标系中，已知点A、B在x轴上，且B（t，0）（-1＜t＜0），等腰△ABC的顶点B在以AC为直径的半圆D上，点E是直线OC与半圆D除点C以外的另一个交点，连接AE与BC相交于点F．又已知抛物线y=a（x²-2x）向左平移2个单位长度后点O恰与点A重合、点M恰与原点O重合，并把平移后所得抛物线记为H．
（1）求证：BF=BO；
（2）如果抛物线H还经过点F，试用含t的式子表示a；
（3）若AE经过△AOC的内心I，试求出此时经过三点A、F、O的抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，问在抛物线上是否存在点P，使该点关于直线AF的对称点在x轴上？若存在，请求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．

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（2013•兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△₁、△₂、△₃、△₄…，则△₂₀₁₃的直角顶点的坐标为

（8052，0）

（8052，0）

．

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阅读材料：
在直角坐标系中，已知平面内A（x₁，y₂）、B（x₁，y₂）两点坐标，则A、B两点之间的距离等于

(x2-x2)2(y2-y1)2

．
例：说明代数式

x2+1

+

(x-3)2+4

的几何意义，并求它的最小值．
解：

x2+1

+

(x-3)2+4

=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-3)2+(0-2)2

，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则

(x-0)2+(0-1)2

可以看成点P与点A（0，1）的距离，

(x-3)2+(0-2)2

可以看成点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=

3

3

，CB=

3

3

，所以A′B=

3

2

3

2

，即原式的最小值为

3

2

3

2

．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）完成上述填空．
（2）代数式

(x-i)2+1

+

(x-2)2+9

的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B

（2，3）

（2，3）

的距离之和．（填写点B的坐标）
（3）求代数式

x2+49

+

x2-12x+37

的最小值．（画图计算）

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如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④…．
（1）求△OAB的斜边长AB；
（2）三角形⑩有两个顶点落在x轴上，试求点A到最远顶点的距离．

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（2009•南安市质检）如图，在直角坐标系中，已知一次函数y=kx+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，且与反比例函数y=

6

x

(x＞0)的图象交于点C（1，n）．
（1）求k、n的值；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，求△ACM的内切圆半径（精确到0.01）

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（2012•常州模拟）在直角坐标系中，已知A（0，1），B（10，1），C（9，4）．
（1）在网格中画出A、B、C三点的圆和直线y=

1

2

x的图象；
（2）已知P是直线y=

1

2

x上的点，且△APB是直角三角形，那么符合条件的点P共有

4

4

个；
（3）如果直线y=kx（k＞0）上有且只有二个点Q与点A、点B两点构成直角△ABQ．则k=

1

10

1

10

．

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