（2012?滨州）求1+2+22+23+答案及详细解析过程——青夏教育精英家教网—

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（2012•滨州）求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³，因此2S-S=2²⁰¹³-1．仿照以上推理，计算出1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²的值为（　　）

A．5²⁰¹²-1

B．5²⁰¹³-1

C．

52013-1

4

D．

52012-1

4

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填空：
（1）2¹-2⁰=

1

=2^（　　）；2²-2¹=

2

=2^（　　）；2³-2²=

4

=2^（　　）
（2）请用字母表示第n个等式，并验证你的发现．
（3）利用（2）中你的发现，求2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁹+2²⁰的值．

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观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1，
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1，
（1）根据前面各式的规律可得：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=

xⁿ⁺¹-1

（其中n为正整数）．
（2）根据（1）求1+2+2²+2³+…+2⁶²+2⁶³的值，并求出它的个位数字．

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求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²的值，
可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²，
则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³，
因此2S-S=2²⁰¹³-1．
仿照以上推理，求1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²的值．

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（2013•张家界）阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：
   2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
   将下式减去上式得2S-S=2²⁰¹⁴-1
   即S=2²⁰¹⁴-1
   即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰
（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）．

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（2013•黄陂区模拟）为求1+2¹+2²+2³…+2²⁰¹²的值，可令S=1+2¹+2²+2³…+2²⁰¹²，则2S=2¹+2²+2³+2⁴…+2²⁰¹³，因此2S-S=S=2²⁰¹³-1．仿照以上推理，计算出1+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹²的值是

32013-1

2

32013-1

2

．

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为了求1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰，因此2S-S=2²⁰¹⁰+1，所以1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸=2²⁰¹⁰+1．仿照以上推理计算出1+5+5²+5³+…5²⁰⁰⁹的值是（　　）

A、5²⁰¹⁰+1

B、5²⁰¹⁰-1

C、

52010+4

4

D、

52010+1

4

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为了求1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹，因此2S-S=2²⁰⁰⁹-1，所以1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸=2²⁰⁰⁹-1．仿照以上推理计算出1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰的值是

S=

32011-1

2

S=

32011-1

2

．

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求1+2¹+2²+2³…+2²⁰¹³的值，可令S=1+2¹+2²+2³…+2²⁰¹³，则2S=2¹+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴，因此2S-S=S=2²⁰¹⁴-1．仿照以上推理，计算出1+3¹+3²+3³+…+3²⁰¹²+3²⁰¹³的值是

1

2

（3²⁰¹⁴-1）

1

2

（3²⁰¹⁴-1）

．

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（2013•平南县二模）求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³，因此2S-S=2²⁰¹³-1．仿照以上推理，计算出1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²=

52013-1

4

52013-1

4

．

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为了求1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸，则2S=2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁹，因此2S-S=2²⁰⁰⁹-1，所以1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸=2²⁰⁰⁹-1．仿照以上推理计算出1+5+5²+5³+…+5²⁰⁰⁹的值是（　　）

A、5²⁰⁰⁹-1

B、5²⁰¹⁰-1

C、

52009-1

4

D、

52010-1

4

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为了求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹¹+2²⁰¹²的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹¹+2²⁰¹²，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，因此2S-S=2²⁰¹³-1，所以1+2²+2³+…+2²⁰¹²=2²⁰¹³-1．仿照以上方法计算1+5+5²+5³+…+5²⁰¹²的值是（　　）

A．5²⁰¹³-1

B．5²⁰¹³+1

C．

52013-4

4

D．

52013-1

4

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为求1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹，因此2S-S=2²⁰⁰⁹-1，所以1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸=2²⁰⁰⁹-1．仿照以上推理计算出1+5+5²+5³+…+5²⁰¹³的值是（　　）

A．5²⁰¹⁴-1

B．5²⁰¹³-1

C．

52014-1

4

D．

52013-1

4

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为了求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁰的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁰，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹¹，因此2S-S=2²⁰¹¹-1，所以1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁰=2²⁰¹¹-1，仿照以上推理，计算1+5+5²+5³+…+5²⁰¹⁰的值可得

1

4

（5²⁰¹¹-1）

1

4

（5²⁰¹¹-1）

．

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为了求1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸的值，可令S=1=2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸，则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹，因此2S-S=2²⁰⁰⁹-1，所以1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁸=2²⁰⁰⁹-1仿照以上推理，计算1+5+5²+5³+…+5²⁰⁰⁹的值．

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阅读理解并解答：
为了求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹的值，可令S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹，
则2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰，因此2S-S=（2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰）-（1+2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁹）=2²⁰¹⁰-1．
所以：S=2²⁰¹⁰-1．即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁹=2²⁰¹⁰-1．
请依照此法，求：1+4+4²+4³+4⁴+…+4²⁰¹⁰的值．

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阅读下列材料：
为了求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹¹的值，可令S=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹¹①，
则 2S=2+2²+2³+…+2²⁰¹²②，
②-①得 2S-S=2²⁰¹²-1，即S=2²⁰¹²-1，
∴1+2+2²+2³+…+2²⁰¹¹=2²⁰¹²-1
仿照以上推理，请计算：1+4+4²+4³…+4²⁰¹¹．

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为了求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²的值，可令s=1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²，则2s=2+2²+2³+2⁴…+2²⁰¹³，因此2s-s=2²⁰¹³-1，所以1+2+2²+2³+…+2²⁰¹²=2²⁰¹³-1．仿照以上推理，计算1+5+5²+5³+…+5²⁰¹³的值．

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16、求1+2+2²+2³+…+2²⁰¹¹的值．

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观察、归纳：
（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
则（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=

xⁿ⁺¹-1

．
求1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³=

2⁶⁴-1

．

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（2012?滨州）求1+2+22+23+答案解析