科目：czsx 来源： 题型：阅读理解

阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：(2+

3

)(2-

3

)=1，2+

3

与2-

3

的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式

2+

3

2-

3

可以这样解：

2+

3

2-

3

=

(2+

3

)(2+

3

)

(2-

3

)(2-

3

)

=

7+4

3

1

=7+4

3

，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：①4+

7

的有理化因式是

4-

7

4-

7

②计算：

1

2+

3

+

27

-6

1

3

③计算：

1

1+

2

+

1

2

+

3

+

1

3

+

4

+…

1

1999

+

2000

．

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科目：czsx 来源： 题型：

把分母中的根号化去，叫做分母有理化．把

a-b

a

+

b

这类型的式子分母有理化有如下两种方法：
方法一：

a-b

a

+

b

=

(a-b)•(

a

-

b

)

(

a

+

b

)•(

a

-

b

)

=

a

-

b

方法二：

a-b

a

+

b

=

(

a

)2-(

b

)2

a

+

b

=

(

a

-

b

)(

a

+

b

)

a

+

b

=

a

-

b

请你挑选一种你喜欢的方法，对

1

3

+

2

进行分母有理化．

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科目：czsx 来源： 题型：阅读理解

阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．
如(2+

3

)(2-

3

)=22-(

3

)2=1，(

5

+

2

)(

5

-

2

)=(

5

)2-(

2

)2=3，
它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：
如

1

3

=

1×

3

×

3

=

3

，

1

2-

3

=

2+

3

(2-

3

)(2+

3

)

=2+

3

，
象这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+

7

的有理化因式是

；

2

分母有理化得

．
（2）分母有理化：①

1

3

2

=

；②

1

12

=

；③

10

2

5

=

．
（3）计算：

1

2+

3

+

27

-6

1

3

．

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科目：czsx 来源： 题型：

阅读下面的运算过程：
（1）

1

3

=

3

•

3

=

3

；
（2）

2

3

+1

=

2(

3

+1)

(

3

+1)(

3

-1)

=

3

-1；
（3）

1

3

-2

2

=

1•(

3

+2

2

)

(

3

-2

2

)(

3

+2

2

)

=

-

3

-2

2

5

；
这里把分母中的根号化去的过程叫“分母有理化”，仿照上面的例子，把下面分母有理化：
（1）

5

-

3

5

+

3

=

；
（2）

18

3

+

6

=

．

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科目：czsx 来源： 题型：

二次根式除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号来进行，这叫做

分母有理化

．

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科目：czsx 来源： 题型：

△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上．
Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形．
小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分．
Ⅱa、小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．
设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）
Ⅱb、小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：
①在AB边上任取一点G′，如图作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，则四

边形DEFG即为所求．
你认为小明的作法正确吗？说明理由．

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科目：czsx 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为1，点D在x轴的正半轴上，

且OD=OB，BD交OC于点E．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求点E的坐标；
（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：
①

2

5

=

2

5

•

5

=

2

5

；
②

1

2

-1

=

1×(

2

+1)

(

2

-1)(

2

+1)

=

2

+1；
③

1

3

+

5

=

5

-

3

(

5

+

3

)(

5

-

3

)

=

5

-

3

2

等运算都是分母有理化）

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科目：czsx 来源：2007年广东省深圳市中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

（2007•深圳）如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为1，点D在x轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求点E的坐标；
（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：
①

；
②

；
③

等运算都是分母有理化）

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科目：czsx 来源：2011-2012学年山东省威海市八年级下学期期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合壁,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.

如,

它们的积是有理数,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样解:

如,

象这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化.

解决问题:

(1)的有理化因式是 . 分母有理化得 .

(2)分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______.．

(3)计算: .

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科目：czsx 来源：2012-2013学年江苏扬州江都区双沟中学九年级10月练习数学试卷（解析版） 题型：解答题

阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌。这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比。在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式。于是二次根式可以这样解：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化。

解决问题：① 的有理化因式是_______________

②计算：

③计算：

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科目：czsx 来源： 题型：解答题

如图，在平面直角坐标系中，正方形AOCB的边长为1，点D在x轴的正半轴上，且OD=OB，BD交OC于点E．
（1）求∠BEC的度数；
（2）求点E的坐标；
（3）求过B，O，D三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如：
① $数学公式$ ；
② $数学公式$ ；
③ $数学公式$ 等运算都是分母有理化）

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科目：czsx 来源：2011-2012学年山东省威海市八年级下学期期末数学试卷（带解析） 题型：解答题

阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合壁,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.
如,
它们的积是有理数,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样解:
如,
象这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化.
解决问题:
(1)的有理化因式是 . 分母有理化得 .
(2)分母有理化:(1) ="_________;(2)" ="________;(3)" =______.．
(3)计算: .

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科目：czsx 来源：2011-2012学年山东威海市八年级下期末模拟数学试卷（二）（带解析） 题型：解答题

阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合壁,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.
如,
它们的积是有理数,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式除法可以这样解:
如,
象这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化.
解决问题:
(1) 的有理化因式是 . 分母有理化得 .
（2）分母有理化:(1) ="_________;(2)" ="________;(3)" =______.．
(3)计算: .