科目：czsx 来源： 题型：

如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE=DF．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=

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AE．请你说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

科目：czsx 来源：福建省期末题 题型：证明题

如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE=DF．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE=AE．请你说明理由．

科目：czsx 来源：2011-2012学年福建省三明市大田县九年级（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

如图，E是正方形ABCD外的一点，连接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，点F在DE上，连接AF，BE=DF．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请你说明理由．

科目：czsx 来源：2016年初中毕业升学考试（贵州贵阳卷）数学（解析版） 题型：解答题

科目：czsx 来源： 题型：解答题

19．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP=1，则AE=$\frac{3}{4}$；
（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．

科目：czsx 来源： 题型：

已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，
（1）若以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，求AE的长；
（2）如图2：连接PE交BC边于点F，连接DE，设AE长为x，CF长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）将点B沿直线EF翻折，使点B落在平面上的B′处，当EF=

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时，△AB′B与△BEF是否相似？若相似，请加以证明；若不相似，简要说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

科目：czsx 来源： 题型：解答题

17．在正方形ABCD中，点P是射线BC上任意一点（不与点B、C重合），连接AP，过点P作AP的垂线交正方形的外角∠DCF的平分线于点E．
（1）如图1，当点P在BC边上时，判断线段AP、PE的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，当点P在BC的延长线上时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE交CD的延长线于点G，连接GP，请写出三条线段GP、BP、GD的数量关系并证明．

科目：czsx 来源：2010年上海市奉贤区中考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

（2010•奉贤区一模）已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，
（1）若以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，求AE的长；
（2）如图2：连接PE交BC边于点F，连接DE，设AE长为x，CF长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）将点B沿直线EF翻折，使点B落在平面上的B′处，当EF=时，△AB′B与△BEF是否相似？若相似，请加以证明；若不相似，简要说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

3．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．
（1）如图1，当BE=2时，求FC的长；
（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．
①依题意将图2补全；
②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：
想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP．
想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形．
想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形．
请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）

科目：czsx 来源：2012年青海省中考数学试卷（解析版） 题型：解答题

如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

（1）探究1：小强看到图后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等，考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM（图1）后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程．
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：阅读理解

（2012•青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC（ASA）
∴AE=EF
（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

科目：czsx 来源：2013年江西省吉安市中考数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

如图，有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，BC=4，若点E是AD上的一个动点（与点A不重合），且0＜AE≤2，沿BE将△ABE对折后，点A落到点P处，连接PC．
（1）下列说法正确的序号是______
①．△ABE与△PBE关于直线BE对称
②．以B为圆心、BA的长为半径画弧交BC于H，则点P在AH上（点A除外）
③．线段PC的长有可能小于2．
④．四边形ABPE有可能为正方形
（2）试求下列情况下的线段PC的长（可用计算器，精确到0.1）．
①以P、C、D为顶点的三角形是等腰三角形；
②直线CP与BE垂直．

科目：czsx 来源： 题型：

如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC边的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于F点，则有AE=EF．
（1）如图2，若点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图3，若点E在CB的延长线上时，上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

19．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是$\widehat{CD}$上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是$\sqrt{5}$-1．
（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．
（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=4，试求出线段CP的最小值．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

10．如图1，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）如图2，已知AF=3，CF=5，点P从点E出发，沿EA方向以每秒$\sqrt{2}$cm的速度向终点A运动；同时动点Q从点B出发沿BE方向以每秒1cm的速度向终点E运动，将△EPQ沿EB翻折，点P的对应点为点G．设Q点运动的时间为t秒，当t为何值时，四边形PQGE为菱形？