4．正棱锥的性质: ① 正棱锥各侧棱 .各侧面都是的等腰三角形.各等腰三角形底边上的高 (它叫做正棱锥的 ), ② 正棱锥的高.斜高和斜高在底面内的射影组成一个三角形.正棱锥的高.侧棱.侧棱在底面内的射影组成一个三角形．典型例题例1．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1.AB＝1.AA1＝2. 点E为CC1的中点.点F为BD1的中点. ⑴ 证明:EF为BD1与CC1的公垂线, ⑵ 求点F到面BDE的距离. 答案变式训练1:三棱柱ABC-A1B1C1中.AB＝a. BC.AC.AA1长均为a.A1在底面ABC上的射影O在AC上． ⑴ 求AB与侧面AC1所成的角, ⑵ 若O点恰是AC的中点.求此三棱柱的侧面积．答案例2. 如图.正三棱锥P-ABC中.侧棱PA与底面ABC成60°角． (1)求侧PAB与底面ABC成角大小, (2)若E为PC中点.求AE与BC所成的角, (3)设AB＝.求P到面ABC的距离．解:(1), (2)取PB中点F.连结EF.则∠AEF为所求的角.求得∠AEF＝, (3)P到平面ABC的距离为．变式训练2: 四面体ABCD中.O.E分别是BD.BC的中点. CA＝CB＝CD＝BD＝2.AB＝AD＝. (1)求证:AO⊥平面BCD, (2)求异面直线AB与CD所成的角, (3)求点E到平面ACD的距离．答案:(1)易证AO⊥BD.AO⊥OC.∴AO⊥平面BCD, (2),(3)用等体积法或向量法可求得点E到平面ACD的距离是．例3. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形.AB∥CD.AB＝2.CD＝1.∠DAB＝45°,侧面PAD是等腰直角三角形.AP＝PD.且平面PAD⊥平面ABCD． ⑴ 求证:PA⊥BD, ⑵ 求PB与底面ABCD所成角的正切值, ⑶ 求直线PD与BC所成的角．答案:,(3)60° 变式训练3:在所有棱长均为a的正三棱柱ABC-A1B1C1中.D为BC的中点． ⑴ 求证:AD⊥BC1, ⑵ 求二面角A-BC1-D的大小, ⑶ 求点C到平面ABC1的距离．提示:(1)证AD⊥平面BB1C1C,(2) arc tan,(3) a．例4．如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.∠ACB＝90°.AC＝BC＝CC1＝1.M为AB的中点.A1D＝3DB1． (1)求证:平面CMD⊥平面ABB1A1, (2)求点A1到平面CMD的距离, (3)求MD与B1C1所成角的大小．提示(1)转证CM⊥平面A1B, (2)过A1作A1E⊥DM.易知A1E⊥平面CMD.∴求得A1E＝1, (3)异面直线MD与B1C1所成的角为变式训练4:在长方体ABCD-A1B1C1D1中.AA1＝AD＝1.AB＝.O为对角线A1C的中点． ⑴ 求OD与底面ABCD所成的角的大小, ⑵ P为AB上一动点.当P在何处时.平面POD⊥平面A1CD?并证明你的结论．答案当P为AB的中点时.平面POD⊥平面A1CD．小结归纳柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体.因此.在学习时要注意以下三点．【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

用向量探索几何的性质：
（1）在△ABC中，D是线段BC的中点，证明：

；
（2）把此结论推广到四面体：设四面体ABCD，点O是三角形BCD的重心，探究

，

与

的等量关系，并说明理由；
（3）进一步探索，确定正n棱锥P-A₁A₂A₃…A_n的底面多边形内一点O的位置，并写出向量：

PA1

、

PA2

、…、

PAn

与

的等量关系．（不必证明）

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具有下列哪一条性质的三棱锥必定是正棱锥

[　　]

A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等.

B.底面是正三角形且侧面是等腰三角形.

C.底面三角形的各边分别与相对的侧棱垂直.

D.底面是正三角形并且与侧面所成的二面角相等.

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具有下列哪个性质的棱锥必是正棱锥　　　

[　　]

A．底面是正三角形且其余各面是等腰三角形

B．底面是正三角形、底面各边分别与对棱垂直

C．各侧面是全等三角形

D．侧棱与底面所成的角相等

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具有下列性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥

[　　]

A．顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等

B．底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形

C．相邻两条侧棱间的夹角相等

D．三条侧棱相等，且顶点在底面上射影是底面三角形的内心

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具有下列哪个性质的棱锥必是正棱锥

A.
底面是正三角形且其余各面是等腰三角形
B.
底面是正三角形、底面各边分别与对棱垂直
C.
各侧面是全等三角形
D.
侧棱与底面所成的角相等

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