如图.正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角.且∠BCD=90°.∠CBD=30°. (1)求证:AB⊥CD, (2)求二面角D-AB-C的大小, 答案与提示:(2)arctan 3 空间角例1.如图1.设ABC-ABC是直三棱柱.F是AB的中点.且 (1)求证:AF⊥AC, (2)求二面角C-AF-B的大小．解:(1)如图2.设E是AB的中点.连接CE.EA．由ABC-ABC是直三棱柱.知AA⊥平面ABC.而CE平面ABC.所以CE⊥AA. ∵AB=2AA=2a.∴AA=a.AA⊥AE.知AAFE是正方形.从而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影.故AF⊥AC, (2)设G是AB与A1E的中点.连接CG．因为CE⊥平面AABB.AF⊥AE.由三垂线定理.CG⊥AF.所以∠CGE就是二面角C-AF-B的平面角．∵AAFE是正方形.AA=a. ∴. ∴. ∴tan∠CGE=.∠CGE＝.从而二面角C-AF-B的大小为. 例2. 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面a.b之间.AB与a成45o角.与b成角.过A.B两点分别作两平面交线的垂线AC.BD.求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．以CD为轴.将平以AB为轴.将平面BCD旋转至与面ABD旋转至与平面ACD共面平面ABC共面图 1 图 2 图 3 解法1.过D点作DE⊥AB于E.过E作EF⊥AB交BC于F(图1).连结DF.则∠DEF即为二面角D-AB-C的平面角．为计算△DEF各边的长.我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中.可计算得DE＝1.EF＝.BF＝＝．在移出图3中. ∵ cosB＝＝, 在△BDF中.由余弦定理: DF 2＝BD 2+BF 2-2BD ﹒ BF ﹒ cosB ＝()2+()2 -2﹒﹒ ＝． (注:其实.由于AB⊥DE.AB⊥EF.∴ AB⊥平面DEF.∴ AB⊥DF．又∵ AC⊥平面b. ∴ AC⊥DF． ∴ DF⊥平面ABC. ∴ DF⊥BC.即DF是Rt△BDC斜边BC上的高.于是由BC ﹒ DF＝CD ﹒BD可直接求得DF的长．) 在△DEF中.由余弦定理: cos∠DEF＝＝＝. ∴ ∠DEF＝arccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．解法2.过D点作DE⊥AB于E.过C作CH⊥AB于H.则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段.CD即二异面直线上两点C.D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式.得: CD 2＝DE 2+CH 2+EH 2-2DE CH cosq (*) (注:这里的q是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小.当0＜q o≤90o.q 亦即异面直线CH与DE所成的角,当90o＜q ＜180o.异面直线所成的角为180o-q .) ∵ CD＝DE＝1.CH＝.HE＝. 从而算得 cosq＝. ∴ q＝arccos. 例3.如图1.直三棱柱ABC-ABC的各条棱长都相等. D为棱BC上的一点.在截面ADC中.若∠ADC＝. 求二面角D-AC1-C的大小．解:由已知.直三棱柱的侧面均为正方形. 图 7 ∵ ∠ADC1＝90o.即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC. ∴ AD⊥CC1. ∴ AD⊥侧面BC1.∴ AD⊥BC. 图1 ∴ D为BC的中点．过C作CE⊥C1D于E.∵ 平面ADC1⊥侧面BC1. ∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F.连结CF.则CF⊥AC1．连结EF.则EF⊥AC1 ∴ ∠EFC是二面角D-AC1-C的平面角．在Rt△EFC中.sin∠EFC＝. ∵ BC＝CC1＝a 易求得 CE＝.CF＝. ∴ sin∠EFC＝. ∴ ∠EFC＝arcsin. ∴ 二面角D-AC1-C的大小为arcsin. 例4.如图. 四棱锥的底面是边长为1的正方形. 图(1) SD垂直于底面ABCD.SB=√3. (I)求证, (II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小, (III)设棱SA的中点为M.求异面直线DM与SB所成角的大小. (Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小. 分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识.考查空间想象能力.逻辑思维能力和运算能力. (I)证明:如图1 ∵底面ABCD是正方形 SD⊥底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影由三垂线定理得 (II)解:SD⊥底面ABCD.且ABCD为正方形可以把四棱锥补形为长方体.如图2 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角. 又为所求二面角的平面角在中.由勾股定理得在中.由勾股定理得即面ASD与面BSC所成的二面角为图2 图3 (III)解:如图3 是等腰直角三角形又M是斜边SA的中点面ASD.SA是SB在面ASD上的射影由三垂线定理得异面直线DM与SB所成的角为 (Ⅳ) 45° 练习:1.设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直.且AB=BC=BD.∠ABC= ∠DBC=120º.求: (1).直线AD与平面BCD所成角的大小. (2).异面直线AD与BC所成的角. (3) .二面角A-BD-C的大小. 答案:180°-arctan2 【查看更多】

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如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.