已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令bn=

1

an•an+1

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求证：Tn=b1f(1)+b2f(2)+…+bnf(n)＜

1

6

（n≥1）；
（Ⅲ）令Tn=

1

2

(b1a+b2a2+b3a3+…+bnan)（a＞0），求同时满足下列两个条件的所有a的值：①对于任意正整数n，都有Tn＜

1

6

；②对于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀时，T_n＞m．

在数列{an}中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

2

2an-1

，其中n∈N*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设cn=

2

n+1

an，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜

1

cmcm+1

对于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由．