题目列表(包括答案和解析)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,
于是
,所以
(2) ,
设平面PCD的法向量
,
则,即
.不防设
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
从而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)证明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如图,作于点H,连接DH.由
,
,可得
.
因此,从而
为二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值为
.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故
或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
在四棱锥中,
平面
,底面
为矩形,
.
(Ⅰ)当时,求证:
;
(Ⅱ)若边上有且只有一个点
,使得
,求此时二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时,底面ABCD为正方形,
又因为,
………………2分
又,得证。
第二问,建立空间直角坐标系,则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即
………6分
由此可知时,存在点Q使得
当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得
由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为
,所以
平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
解:(Ⅰ)当时,底面ABCD为正方形,
又因为,
又
………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直,分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系,如图所示,
则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即
………6分
由此可知时,存在点Q使得
当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得由此知道a=2,
设平面POQ的法向量为
,所以
平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
如图,四棱柱中,
平面
,底面
是边长为
的正方形,侧棱
.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)若棱上存在一点
,使得
,当二面角
的大小为
时,求实数
的值.
【解析】(1)在中,
.
(3’)
(2)以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则
(4’)
,设平面
的法向量为
,
由得
,
(5’)
则,
. (7’)
(3)
设平面的法向量为
,由
得
,
(10’)
如图所示的长方体中,底面
是边长为
的正方形,
为
与
的交点,
,
是线段
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理,以及二面角的求解的运用。中利用,又
平面
,
平面
,∴
平面
由
,
,又
,∴
平面
.
可得证明
(3)因为∴为面
的法向量.∵
,
,
∴为平面
的法向量.∴利用法向量的夹角公式,
,
∴与
的夹角为
,即二面角
的大小为
.
方法一:解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接,则点
、
,
∴,又点
,
,∴
∴,且
与
不共线,∴
.
又平面
,
平面
,∴
平面
.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,
,即
,
,
又,∴
平面
. ………8分
(Ⅲ)∵,
,∴
平面
,
∴为面
的法向量.∵
,
,
∴为平面
的法向量.∴
,
∴与
的夹角为
,即二面角
的大小为
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