设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为Ω函数．

(Ⅰ)求证：若函数f(x)为Ω函数，则f(0)=0；

(Ⅱ)试判断函数f₁(x)=xsinx、f₂(x)=和f₃(x)=中哪些是Ω函数，并说明理由；

(Ⅲ)若f(x)是奇函数且是定义在R上的可导函数，函数f(x)的导数f′(x)满足|f′(x)|＜1，试判断函数f(x)是否为Ω函数，并说明理由．

已知函数f（x）满足：对任意实数a、b都有f（a•b）=af（b）+bf（a）．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）设f(-

1

2

)=

1

2

，记a_n=f（2ⁿ），n∈N^*，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若对一切实数x，均有|f（x）|≤1，试证：?x∈R，f（x）=0．

(北京海淀模拟)设函数f(x)的定义域为R，若对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为Ω函数．

(1)试判断函数和中哪些是Ω函数，并说明理由；

(2)若函数是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数，均有，求证：函数f(x)一定是Ω函数；

(3)求证：若a＞1，则函数是Ω函数．