（09年湖南十二校理）（12分）

   如图，已知在直四棱柱中，，

，．

   （I）求证：平面；

（II）求二面角的余弦值．

（07年山东卷理）（12分）

如图,在直四棱柱中,已知

,,.

(I)设是的中点,求证: ;

(II)求二面角的余弦值.

（07年山东卷理）（12分）

如图,在直四棱柱中,已知

,,.

(I)设是的中点,求证: ;

(II)求二面角的余弦值.

（08年濮阳市摸底考试理）  在直三棱柱A₁B₁C₁－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA₁＝1．已知G与E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为             (    )

    A．[ ，1)    B．[，2)         C．[1，)        D．[，)

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；

(2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；

(3)在AB上是否存在两个不同的点D′，E′，使沿折线．PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价?证明你的结论．

a)

第19题图

(文)如图b所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．

(1)求AC₁与BC所成角的余弦值；

(2)求二面角C₁-BD-C的大小；

(3)设M是BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D?并证明你的结论．

第19题图