Question

（09年湖南十二校理）（12分）

   如图，已知在直四棱柱中，，

，．

   （I）求证：平面；

（II）求二面角的余弦值．

Answer 1

解析：解法一：

（I）设是的中点，连结，则四边形为正方形，．故，，，，即．.. 2分

又，                                               ………..3分

平面，                                                         …….5分

（II）由（I）知平面，

又平面，，

取的中点, 连结，又，则．

取的中点，连结，则,.

为二面角的平面角．                                     ………8分

连结，在中，，，

取的中点，连结，，

在中，，，．                      ………..10分

．     

二面角的余弦值为．                                       ………..12分

解法二：

（I）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，,.    .. 2分

，,                                      ………..3分

     

又因为 所以，平面.                                ………..5分

（II）设为平面的一个法向量．

由，，

得    取，则．                               ……….7分

又，，设为平面的一个法向量，

由，，得取，则，       ……….9分

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，

,                   ………..12分