题目列表(包括答案和解析)
已知点为圆
上的动点,且
不在
轴上,
轴,垂足为
,线段
中点
的轨迹为曲线
,过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
,它与曲线
交于
、
两点。
(I)求曲线的方程;
(II)试证明:在轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分
【解析】第一问中设为曲线
上的任意一点,则点
在圆
上,
∴,曲线
的方程为
第二问中,设点的坐标为
,直线
的方程为
, ………………3分
代入曲线的方程
,可得
∵,∴
确定结论直线与曲线
总有两个公共点.
然后设点,
的坐标分别
,
,则
,
要使被
轴平分,只要
得到。
(1)设为曲线
上的任意一点,则点
在圆
上,
∴,曲线
的方程为
. ………………2分
(2)设点的坐标为
,直线
的方程为
, ………………3分
代入曲线的方程
,可得
,……5分
∵,∴
,
∴直线与曲线
总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆
的内部得到此结论)
………………6分
设点,
的坐标分别
,
,则
,
要使被
轴平分,只要
,
………………9分
即,
, ………………10分
也就是,
,
即,即只要
………………12分
当时,(*)对任意的s都成立,从而
总能被
轴平分.
所以在x轴上存在定点,使得
总能被
轴平分
(1)同时自由转动转盘A与B;
(2)转盘停止后,指针各指向一个数字(如果指针恰好指在分格线上,那么重转一次,直到指针指向某一数字为止),用所指的两个数作乘积,如果得到的积是偶数,那么甲胜;如果得到的积是奇数,那么乙胜。(如转盘A指针指向3,转盘B指针指向5,3×5=15,按规则乙胜)
你认为这样的规则是否公平?请说明理由;如果不公平,请你设计一个公平的规则,并说明理由。
A、7 | B、8 | C、9 | D、10 |
A、12种 | B、18种 | C、36种 | D、54种 |
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