问题的条件不完备.结论不确定是探索性问题的基本特征.从探索性问题的解题过程来看.没有确定的模式.可变性多.对观察.试验.联想.类比.猜想.抽象.概括.特别是对发现问题.分析问题的能力要求较高.探索性问题的解题策略有: 1攻略之一--特殊值探路.一般化证明从最简单.最特殊的情况出发.有时也可借助直觉观察或判断.推测出命题的结论.必要时给出严格证明. [例1]已知试判断与的大小关系. 解析:由＜. ＞.＞.＞..＜.＜--猜想出结论:当时. ,当.3.4时＞.当或时＜.然后用数学归纳法证明猜想的正确性. 2攻略之二--假设存在.推理检验此类题型需从题目所给出的条件及所探求的结论两方面入手.充分挖掘题设条件的内涵与外延.积极向所探究的结论靠拢.解答这类问题的一般思路是:先假定对象存在.运用条件进行推理.若得到相应的合理结论.断言这个对象是存在的,若出现矛盾.则否定先前假设.断言对象是不存在的. [例2]抛物线过定点A(0.2)且以x轴为准线. (1)求抛物线的顶点M的轨迹C. (2)问过定点B.1是否存在一对互相垂直的直线同时都与轨迹C有公共点?证明你的结论. 解析:(1)利用数形结合法.根据抛物线定义可求得动点M的轨迹方程为: x +4(y-1)= 4 (2)过点B的直线与曲线C有交点需满足什么条件?两直线垂直的条件又是什么?这两者中有何关系?从而推出合理的结论. 设过点B.1的直线L为:y-1=k(x+).L与C有交点的条件为方程组有解现假设存在一对过B且与轨迹C有公共点的互相垂直的直线L和L.则有,但由上述结果知这就产生矛盾.故这样的直线不存在. [例3]已知数列和满足:,其中为实数.为正整数. (Ⅰ)对任意实数.证明数列不是等比数列, (Ⅱ)试判断数列是否为等比数列.并证明你的结论, (Ⅲ)设,为数列的前项和.是否存在实数.使得对任意正整数.都有 ?若存在.求的取值范围,若不存在.说明理由. (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ.使{an}是等比数列.则有a22=a1a3.即矛盾. 所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14) =(-1)n·(an-3n+21)=-bn 又b1=-,所以当λ＝-18.bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列: 当λ≠-18时.b1= ≠0,由上可知bn≠0.∴(n∈N+). 故当λ≠-18时.数列{bn}是以-为首项.-为公比的等比数列. 知.当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18.故知bn= -·(-)n-1.于是可得 Sn=- 要使a<Sn<b对任意正整数n成立. 即a<-·［1-(-)n］〈b(n∈N+) ① 当n为正奇数时.1<f(n) ∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= , 于是.由①式得a<-,< 当a<b3a时.由-b-18=-3a-18.不存在实数满足题目要求, 当b>3a存在实数λ.使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且λ的取值范围是(-b-18,-3a-18) 点评:本小题主要考查等比数列的定义.数列求和.不等式等基础知识和分类讨论的思想.考查综合分析问题的能力和推理认证能力.对于参数存在型探索性命题.其求解关键是对参数进行合理全面地分类讨论.这类探索性命题结论的成立与否取决于参数的范围的取舍. 3攻略之三--等价转化,探求条件使用等价转化思想.找出命题成立的充要条件. [例4]已知二次函数的导函数的图像与直线平行.且在处取得极小值．设． (1)若曲线上的点到点的距离的最小值为.求的值, (2)如何取值时.函数存在零点.并求出零点．分析:本题是探索使结论成立的条件.可根据题意步步等价转化.寻找成立的充要条件.如函数有零点于方程有根函数图像与轴有交点. 解:(1)依题可设 ().则, 又的图像与直线平行 . . 设.则当且仅当时.取得最小值.即取得最小值当时. 解得当时. 解得 (2)由().得当时.方程有一解.函数有一零点, 当时.方程有二解. 若.. 函数有两个零点.即, 若.. 函数有两个零点.即, 当时.方程有一解, , 函数有一零点综上.当时, 函数有一零点, 当().或()时. 函数有两个零点, 当时.函数有一零点. 4攻略之四--类比联想类比是根据两事物的一些属性相同或相似推测另一些属性也可能相同或相似的认识方法.也是人类认识事物的普遍规律之一.所谓类比猜想的策略就是由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法.并以严格论证. [例5]将图表填完整平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半解析:本题是平面与空间的类比.由已知前几组类比可得到如下信息:①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象,②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象,③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象,④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象,⑤三角形的面积公式中的“二分之一与三棱锥的体积公式中的“三分之一是类比对象. 由上分析不难知道空格处应填:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.对于这一结论的正确性.可以通过等体积法.将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明. 点评:平面到空间的类比是常见的类比形式.要掌握这些常见的类比方向.题目也就不难解决了. 【查看更多】

（2008•普陀区一模）定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．
已知无穷等比数列{a_n}的首项、公比均为

1

2

．
（1）试求无穷等比子数列{a_3k-1}（k∈N^*）各项的和；
（2）是否存在数列{a_n}的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为

1

7

？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系．请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论．

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定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．
已知无穷等比数列{a_n}的首项、公比均为