数列{a_n}满足a1=1，an+1=

an2 4an2+1

（n∈N₊），
（1）证明{

1

an2

}为等差数列并求a_n；
（2）设cn=2n-3(

1

an2

+3)，数列{c_n}的前n 项和为T_n，求T_n；
（3）设Sn=a12+a22+…+an2，b_n=S_2n+1-S_n，是否存在最小的正整数m，使对任意n∈N₊，有bn＜

m

25

成立？设若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上，
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c的值；
（2）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
（3）若b_n=

1

3

an+1，请求出一个满足条件的指数函数g（x），使得对于任意的正整数n恒有

n

k=1

g(k)

(bk+1)(bk+1+1)

＜

1

3

成立，并加以证明．（其中∑为连加号，如：

n

i-1

an=a1+a2+…+an）

已知等差数列{a_n}的第二项为8，前10项之和为185，从{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，┅，第2ⁿ项，┅，按原来的顺序排成一个新的数列{b_n}．
（1）求数列{b_n}的前n项的和S_n；
（2）设T_n=n（9+a_n），试比较S_n和T_n的大小，并证明你的结论．

数列{a_n}中，已知a₁=1，n≥2时，an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

．数列{b_n}满足：bn=3n-1(an+1)(n∈N*)．
（1）证明：{b_n}为等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）记数列{

an+1

n

}的前n项和为S_n，若不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立（m，n为正整数）．求出所有符合条件的有序实数对（m，n）．