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    已知函数f (x)= 的极大值, 的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0.e2]上有公共点.求实数a的取值范围 寿光市2009年高考适应性训练试题 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f(x)=4x3-3x2cosθ+
    1
    32
    ，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤
    π
    2
    ．
    （Ⅰ）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
    （Ⅱ）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
    （Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）内都是增函数，求实数a的取值范围．

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    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+ax2-bx    （a，b∈R）
    （1）若y=f（x）图象上的点(1，-
    11
    3
    )    处的切线斜率为-4，求y=f（x）的极大值；
    （2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

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    已知函数f(x)=
    13
    ax3-bx2+(2-b)x+1    在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2．
    （1）证明a＞0；（2）若z=a+2b，求z的取值范围．

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    已知函数f(x)=
    13
    x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)    ，
    （1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
    （2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
    （3）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

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    已知函数f(x)=
    (x2+ax+a)
    ex
    ，（a为常数，e为自然对数的底）．
    （1）令μ(x)=
    1
    ex
    ，a=0，求μ'（x）和f'（x）；
    （2）若函数f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
    [理]（3）在（2）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（x），试判断曲线g（x）只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0（m，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．

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    一、选择题:

           1. C  2. C  3. B  4.C  5. D  6. D  7. C 8. D  9. B  10. A  11. C  12. C

    二、填空题:

           13.  85，1.6    14.  800   15.    16.

    三、解答题:

    17.解: （1）………………………1分

           ，

                   化简得…………………………3分

                   

           （2）)

                   

                 令Z），函数f(α)的对称轴方程为

                  Z).………………………………………………………12分

    18. 解：（1）从盒中同时摸出两个球，有种可能情况，…………2分

           摸出两球颜色恰好相同即两个黑球或两个白球，有1+种情况，……4分

           故所求概率是………………………………………………………………6分

           （2）从盒中摸出一个球，放回后再摸出一个球，共有5×5=25种情况，……8分

           若两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”，共有2×3+3×2=12种可能情况，故所求概率是………………………………………………………………………12分

           （本题也可一一列出基本事件空间后求解）

    19.解：（1）an+1+an=3n-54, an+2+an+1=3(n+1)-54.

           两式相减得an+2-an=3(n∈N*)，

           ∴数列a1,a3,a5,……, a2, a4, a6, …都是公差为3的等差数列.……………………1分

           a1=-27, a1+a2==-51, a2=-24。采用叠加法可得，

           当n为奇数时，an=；…………………………3分

           当n为偶数时，an=……………………………5分

           ∴an=………………………………6分

           （2）因为n为偶数，所以

                  Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+……+(an-1+an)…………………………8分

                  =(3×1－54)+(3×3?54)+……+[3(n?1)?54]

                  =…………………………………………10分

                  若n为偶数，当n=18时，Sn取到最小值-243.……………………12分

    20. （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.

                           又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB.……2分

                           又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB.……4分

           （2）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD.

                           又PC⊥AD，∴AD⊥平面PAC，∴AC⊥AD.

                           在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，

                           ∴∠DCA=∠BAC=.

                           又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形。

                           ∴DC=2AB,  

                           ……………………8分

    （3）连结BD，交AC于点M，连结EM，则

                    在△BPD中，∴PD∥EM.

                    又PD平面EAC，EM平面EAC，

                    ∴PD∥平面EAC.……………………（12分）

    21.解：（1）设直线AB的方程为y=k(x+1),

           将y=k(x+1)代入x2+3y2=5, 消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.………2分

           △=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0恒成立，

           设A(x1,y1), B(x2,y2), 则x1+x2=,………………………………4分

           由线段AB中点的横坐标是，

           得解得k=±.……………………5分

           所以直线AB的方程为或……………………6分

           （2）假设在x轴上存在点M（m, 0），使为常数.

           由（1）知x­1+x2=①

        所以

        =

           =……………………8分

           将①代入上式，整理得，

        ∴

        ∵

           综上，在x轴上存在定点M，使为常数……………………12分

    22.解：（1）f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=,

    令f′(x)=0，得x=e1-a.……………………3分

    当x∈（0, e1-a­­­­）时，f′(x)>0,f(x)在(0, e1-a­­­­)内是单调递增，当x∈(e1-a­,+∞)时，f′(x)<0,f(x)在(e1-a,+∞)内是单调递减.…………………………6分

    ∴f(x)在x=e1-a处取得极大值f(e1-a)=ea-1.………………8分

    （2）∵a>0, ∴e1-a<e2,∴[f(x)]max=f(e1-a)=ea-1,………………10分

    ∴f(x)的图象g(x)=1的图象在(0,e2]上有公共点，等价于ea-1≥1，……………12分

    两边以e底取对数可解得a≥1，故a的取值范围是[1,+∞)……………………14分

     

     


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