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    的条件下.过点作倾斜角为的直线.则在y轴上的截距为.求数列的通项公式． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2的直线l1与C1交于A，B两点，且△ABF1的周长为，l1的倾斜角为α．
    （I）当l1垂直于x轴时，
    ①求椭圆C1的方程；
    ②求证：对于?α∈[0，π），总有．
    （II）在（I）的条件下，设直线l2与椭圆交于C，D两点，且OC⊥OD，过O作l2的垂线交l2于E，求E的轨迹方程C2，并比较C2与C1通径所在直线的位置关系．

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    已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2的直线l1与C1交于A，B两点，且△ABF1的周长为，l1的倾斜角为α．
    （I）当l1垂直于x轴时，
    ①求椭圆C1的方程；
    ②求证：对于?α∈[0，π），总有．
    （II）在（I）的条件下，设直线l2与椭圆交于C，D两点，且OC⊥OD，过O作l2的垂线交l2于E，求E的轨迹方程C2，并比较C2与C1通径所在直线的位置关系．

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    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F2的直线l1与C1交于A，B两点，且△ABF1的周长为4
    		2
    ，l1的倾斜角为α．
    （I）当l1垂直于x轴时，|AF2|+|BF2|=2
    		2
    |AF2|•|BF2|
    ①求椭圆C1的方程；
    ②求证：对于?α∈[0，π），总有|AF2|+|BF2|=2
    		2
    |AF2|•|BF2|    ．
    （II）在（I）的条件下，设直线l2与椭圆交于C，D两点，且OC⊥OD，过O作l2的垂线交l2于E，求E的轨迹方程C2，并比较C2与C1通径所在直线的位置关系．

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    （本题满分14分）

    已知函数与函数的图像关于直线对称．

    （1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；

    （2）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值；

    （3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．

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    已知函数f(x)与函数y=(a＞0)的图象关于直线y=x对称.

    (1)试用含a的代数式表示函数f(x)的解析式，并指出它的定义域；

    (2)数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an＞a1.数列{bn}中，b1=2，Sn=b1+b2+…+bn.点Pn(an,) (n=1,2, 3,…)在函数f(x)的图象上，求a的值；

    (3)在(2)的条件下，过点Pn作倾斜角为的直线ln，则ln在ｙ轴上的截距为(bn+1)(n=1,2, 3,…)，求数列{an}的通项公式.

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    一、选择题：

    1．C  2．D  3．C  4．A   5．B  6．C  7．B   8．A   9．D  10．A  11．A  12．C

    二、填空题：

    13．         14． 26   15． －3    16．     17． 3         18．   

    19．   20．(0，1) 21．     22．    23．765        24．5  

    25．2          26．

    三、解答题：

    27、解：（1）∵cos3x=4cos3x-3cosx，则=4cos2x-3=2cos2x-1

    ∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x

    =2sin(2x+)-1                            

    在2x+=2kπ+时，f(x)取得最大值2-1

    即在x=kπ+ (k∈Z)时，f(x)取得最大值2-1 

    （2）∵f(x)=2sin(2x+)-1

    要使f(x)递减，x满足2kπ+≤2x+≤2kπ+

    即kπ+≤x≤kπ+ (k∈Z)

    又∵cosx≠0，即x≠kπ+ (k∈Z)               

     

    ）

    28、解：（1）p(ξ个正面向上，4-ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。

    ∴p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2

    p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2?a(1-a)= (1-a)

    p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2? a2=(1+2a-2 a2)

    p(ξ=3)= ()2a(1-a)+ (1-) a2=

    p(ξ=4)= ()2 a2=a2             

    (2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)

    则p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)- =－≥0

    由

    ，即a∈[]                

    （3）由（1）知ξ的数学期望为

    Eξ=0×（1-a）2+1× (1-a)+2× (1+2a-2a2)+3×+4×=2a+1

    29、解：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理

    ∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG

    （2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC

    ∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD

    过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知

    ∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，  

    故二面角G-EF-D的大小为45°。

    （3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM∥BC，∴QM⊥PC

    在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ         

    30、解：（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x-3,y),=(,0),

    ∵2（）2=?，∴2（x2-9）=x2-9+y2,

    即P点的轨迹方程（1-2）x2+y2=9（1-2）

    当1-2＞0，且≠0，即∈（-1，0）时，有+=1，

    ∵1-2＞0，∴＞0，∴x2≤9。

    ∴P点的轨迹是点A1，（-3，0）与点A2（3，0） 

    当=0时，方程为x2+y2=9，P的轨迹是点A1（-3，0）与点A2（3，0）

    当1-2＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，方程为-=1，P点的轨迹是双曲线。

    当1-2=0，即=±1时，方程为y=0，P点的轨迹是射线。

    （2）过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,

    当=时，曲线方程为+=1，

    由（1）知，其轨迹为点A1（-3，0）与A2（3，0）

    因直线过A1（-3，0），但不过A2（3，0）。

    所以，点B不存在。

    所以，在直线x=-9上找不到点C满足条件。         

    31、解：（理）（1）f′(x)=－+a=

    (i)若a=0时，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0

    ∴f(x)在(0,+∞)单调递增，在（-∞，0）单调递减。   

    （ii）若时，f′(x)≤0对x∈R恒成立。

    ∴f(x)在R上单调递减。                          

    (iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0ax2+2x+a＞0＜x＜

    由f′(x)＜0可得x＞或x＜

    ∴f(x)在[，]单调递增

    在（-∞，]，[上单调递减。

    综上所述：若a≤－1时，f(x)在（－∞，+∞）上单调递减。

    （2）由（1）当a=－1时，f(x)在（-∞，+∞）上单调递减。

    当x∈（0，+∞）时f(x)＜f(0)

    ∴ln（1+x2）－x＜0 即ln（1+x2）＜x

    ∴ln[（1+）（1+）……(1+)]

    =ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+

    ＜=1-+-+…+=1-＜1

    ∴（1+）（1+）……(1+)＜e  

    32、解：（1）由题可知：与函数互为反函数，所以，

    ，  （2）因为点在函数的图像上，所以， 

    在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化为： ①

    （3）直线的方程为：，，

    在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以，

    =，结合①式可得：            ②

    由①可知：当自然数时，，，

    两式作差得：．

    结合②式得：         ③

    在③中，令，结合，可解得：，

    又因为：当时，，所以，舍去，得．

    同上，在③中，依次令，可解得：，．

    猜想：．下用数学归纳法证明．       

    （1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．

    （2）假设时命题成立，即，则由③式可得：

    把代入上式并解方程得：

    由于，所以，，所以，

    符合题意，应舍去，故只有．

    所以，时命题也成立．

    综上可知：数列的通项公式为   

     

     


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