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如图，已知抛物线C的顶点在原点O，焦点为F(0，1)．

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交抛物线C于另一点Q，满足PF⊥QP，且PQ与抛物线C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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一、选择题：（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

A

C

C

D

A

A

B

二、填空题：（每小题4分，共24分）

11．；  12．；   13．；    14．；   15．4    16．120

三、解答题：（共76分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分）

17．解：（I）

        由，得。

        又当时，得

       （Ⅱ）当

        即时函数递增。

        故的单调增区间为，

        又由，得，

        由

        解得

        故使成立的的集合是

18．解：（I）设袋中有白球个，由题意得，

        即

        解得或（舍），故有白球6个

       （法二，设黑球有个，则全是黑球的概率为   由

        即，解得或（舍），故有黑球4个，白球6个

       （Ⅱ），

0

1

2

3

P

       故分布列为

       数学期望

19．解：（I）取AB的中点O，连接OP，OC         PA=PB   POAB

       又在中，，

       在中，，又，故有

          又，面ABC

       又PO面PAB，面PAB面ABC

      （Ⅱ）以O为坐标原点， 分别以OB，OC，OP为轴，轴，轴建立坐标系，

如图，则A

       设平面PAC的一个法向量为。

            得

       令，则

       设直线PB与平面PAC所成角为

       于是

20．解：（I）由题意设C的方程为由，得。

       设直线的方程为，由

       ②代入①化简整理得  

       因直线与抛物线C相交于不同的两点，

       故

       即，解得又时仅交一点，

      （Ⅱ）设，由由（I）知

21．解：（I）当时，

       设曲线与在公共点（）处的切线相同，则有

       即    解得或（舍）

       又故得公共点为，

       切线方程为   ，即

      （Ⅱ），设在（）处切线相同，

       故有

       即

       由①，得（舍）

       于是

       令，则

       于是当即时，，故在上递增。

       当，即时，，故在上递减

       在处取最大值。

       当时，b取得最大值

22．解：（I）的对称轴为，又当时，，

       故在[0，1]上是增函数

       即

     （Ⅱ）

       由

       得

       ①―②得   即

       当时，，当时，

       于是

       设存在正整数，使对，恒成立。

       当时，，即

       当时，

       。

       当时，，当时，，当时，

       存在正整数或8，对于任意正整数都有成立。