Question

（2009•河西区二模）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程是x=-2，过点M（-1，1）的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B
（I）求抛物线C的方程及直线l的斜率k的取值范围；
（Ⅱ）求|

AB

|（用k表示）

Answer 1

分析：（I）利用抛物线的准线方程即可得出p，进而得到抛物线方程，与直线l的方程联立即可得到关于x的一元二次方程，利用△＞0即可得出（注意k=0时）；
（II）利用根与系数的关系和弦长公式即可得出．

解答：解：（I）由题意设C的方程为y²=2px（p＞0），由-

p

2

=-2，得p=4．
∴y²=8x．
设直线l的方程为y-1=k（x+1），由

y2=8x                  ① y-1=k(x+1)         ②

②代入①化简整理得   k²x²+（2k²+2k-8）x+k²+2k+1=0，
因直线l与抛物线C相交于不同的两点，
故△=（2k²+2k-8）²-4k²（k²+2k+1）＞0，
即k²+k-2＜0，解得-2＜k＜1，又k=0时仅交一点，
∴k∈（-2，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（I）知x1+x2=-

2k2+2k-8

k2

，x1x2=

k2+2k+1

k2

，
|

AB

|=

1+k2

|x2-x1|=

1+k2

•

△

k2

=

1+k2

•

64-32k-32k2

k2

=

4 1+k2 • 4-2k-2k2

k2

(k∈(-2，0)∪(0，1))．

点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到△＞0即根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键．