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    一般地.()． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    一般地，我们把函数h（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n∈N）称为多项式函数，其中系数a0，a1，…，an∈R．
    设 f（x），g（x）为两个多项式函数，且对所有的实数x等式f[g（x）]=g[f（x）]恒成立．
    （Ⅰ） 若f（x）=x2+3，g（x）=kx+b（k≠0）．
    ①求g（x）的表达式；
    ②解不等式f（x）-g（x）＞5．
    （Ⅱ）若方程f（x）=g（x）无实数解，证明方程f[f（x）]=g[g（x）]也无实数解．

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    一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函数f(x)=
    4x
    4x+m
    的定义域为R，其图象关于点M(
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    对称．
    （1）求常数m的值；
    （2）解方程：log2[1-f(x)]log2[4-xf(x)]=2；
    （3）求证：f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-2
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )+f(
    n
    n
    )=
    3n+1
    6
    （n∈N+）．

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    一般地，在数列{an}中，如果存在非零常数T，使得am+T=am对任意正整数m均成立，那么就称{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*），如果x1=1，x2=a，（a≤1，a≠0），设S2009为其前2009项的和，则当数列{xn}的周期为3时，S2009=
    1339+a
    1339+a
    ．

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    一般地，给定平面上有n个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为λn，已知λ4的最小值是
    		2
    ，λ5的最小值是2sin
    3
    10
    π    ，λ6的最小值是
    		3
    ．试猜想λn（n≥4）的最小值是
    2sin
    n-2
    2n
    π
    2sin
    n-2
    2n
    π
    ．（这就是著名的Heilbron猜想，已经被我国的数学家攻克）

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    一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函数数学公式的定义域为R，其图象关于点数学公式对称．
    （1）求常数m的值；
    （2）解方程：数学公式；
    （3）求证：数学公式（n∈N+）．

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    说明

        1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.

        2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.

        3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.

        4. 给分或扣分均以1分为单位.

    答案及评分标准

     

    1．；   2．；   3．；   4．；   5．（理）元；（文）0.7；

    6．（理）； （文）200赫兹；   7．（理）5；  （文）p=4．

    8．（理）； （文）

    9．；    10．（理）；  （文）方程为．

    11．（理）；  （文）；    12．12．

     

    13――16：A；  C ；  C；  理B文A

     

    17．设熊猫居室的总面积为平方米，由题意得：．… 6分

    解法1：，因为，而当时，取得最大值75． 10分

    所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米．      …… 12分

    解法2：=75，当且仅当，即时，取得最大值75．                        …… 10分

    所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米．      …… 12分

     

    18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、、、．                                  ……2分

    设平面的法向量为，则，．

    因为，，                          ……3分

    ，，

    所以解得，取，得平面一个法向量，且．                                                     ……5分

    （1）在平面取一点，可得，于是顶点到平面的距离，所以顶点到平面的距离为，         ……8分

    （2）因为平面的一个法向量为，设与的夹角为a，则

    ，                                        ……12分

    结合图形可判断得二面角是一个锐角，它的大小为．……14分

     

    文：（1）圆锥底面积为 cm2，                                        ……1分

    设圆锥高为cm，由体积，                               ……5分

    由cm3得cm；                                         ……8分

    （2）母线长cm，                                             ……9分

    设底面周长为，则该圆锥的侧面积=，                          ……12分

    所以该圆锥的侧面积=cm2．                                     ……14分

     

    19．（理）（1）；                                          ……3分

    （2）当时，（）

    ， ……6分

    所以，（）．                                      ……8分

    （3）与（2）同理可求得：，                       ……10分

    设=，

    则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得

    ，所以

    ．                          ……14分

     

    （文）（1）设数列前项和为，则．     ……3分

    （2）公比，所以由无穷等比数列各项的和公式得：

    数列各项的和为=1．                                     ……7分

    （3）设数列的前项和为，当为奇数时，=

    ；                                           ……11分

    当为偶数时，=．    ……14分

    即．                   ……15分

     

    20．（1）即，又，2分

    所以，从而的取值范围是．      ……5分

    （2），令，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，8分

    由解得，所以当时，函数的最小值是；                                             ……11分

    下面求当时，函数的最小值．

    当时，，函数在上为减函数．所以函数的最小值为．

    [当时，函数在上为减函数的证明：任取，，因为，，所以，，由单调性的定义函数在上为减函数．]

    于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值．                               ……15分

     

    21．（1）由解得；由解得．

    由点斜式写出两条直线的方程，，

    所以直线AB的斜率为．                                   ……4分

    （2）推广的评分要求分三层

    一层:点P到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）

    例：1．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率；

    2．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-k 1的直线，与过点且斜率为k的直线相交于抛物线上的一点P（4，4），求直线AB的斜率；

    3．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P，求直线AB的斜率； AB的斜率的值．

    二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）

    例：4．已知点R是抛物线上的定点．过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．

    三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）

    例如：5.已知抛物线上有一定点P，过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．

    过点P（），斜率互为相反数的直线可设为，，其中。

     由得，所以

    同理，把上式中换成得，所以

    当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为。

    （3）（理）点，设，则．

    设线段的中点是，斜率为，则=．12分

    所以线段的垂直平分线的方程为，

    又点在直线上，所以，而，于是．                                                       ……13分

     (斜率，则--------------------------------13分)

    线段所在直线的方程为，                  ……14分

    代入，整理得               ……15分

    ，。设线段长为，则

    =

                                   ……16分

    因为，所以                ……18分

    即：．（）   

     

    （文）设，则

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