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    (2) 若函数在区间上有最大值为.试求的值. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数．

    （1）求在区间上的最大值；

    （2）若函数在区间上存在递减区间，求实数m的取值范围．

    【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的最值。第一问中，利用导数求解函数的最值，首先求解导数，然后利用极值和端点值比较大小，得到结论。第二问中，我们利用函数在上存在递减区间，即在上有解，即，即可，可得到。

    解：（1）， 

    令，解得                 ……………3分

    ，在上为增函数，在上为减函数，

                

     

     

     

     

     

    ．          …………6分

    （2）

    在上存在递减区间，在上有解，……9分

    在上有解， ，

    所以，实数的取值范围为  

     

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    本题满分14分) 设函数在上的导函数为，在上的导函数为．若在上，有恒成立，则称函数在

    上为“凸函数”．已知．

    (Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；

    (Ⅱ) 若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．

     

     

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    本题满分14分) 设函数在上的导函数为，在上的导函数为．若在上，有恒成立，则称函数在
    上为“凸函数”．已知．
    (Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；
    (Ⅱ) 若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．

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    设f（x）是定义在区间D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两个实数x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．
    （Ⅰ）试判断函数f1(x)=x2，f2=
    1x
    (x＜0)    是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；
    （Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设an=fn，n=0，1，2，…，m，且a0=0，am=2m．记Sf=a1+a2+…+am对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值；
    （Ⅲ）若g（x）是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明g（x）不是R上的C函数．

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    设f（x）是定义在区间D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两个实数x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．
    （Ⅰ）试判断函数数学公式是否为各自定义域上的C函数，并说明理由；
    （Ⅱ）已知f（x）是R上的C函数，m是给定的正整数，设an=fn，n=0，1，2，…，m，且a0=0，am=2m．记Sf=a1+a2+…+am对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值；
    （Ⅲ）若g（x）是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明g（x）不是R上的C函数．

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    一、选择题：

    1.B      2.A      3.B      4.D      5.D       6.B       7.A  

    8.B      9.D      10.C      11.A    12.C

    二、填空题：

    13．1       14．6ec8aac122bd4f6e              15．20        1 6．32       17．6ec8aac122bd4f6e

    18、 0 ；   19、；  20、；    21、 ③  ；  22．①③

    三、解答题：

    23解：（Ⅰ）因为6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e，所以

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    因此，当6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e（6ec8aac122bd4f6e）时，6ec8aac122bd4f6e取得最大值6ec8aac122bd4f6e；

    （Ⅱ）由6ec8aac122bd4f6e及6ec8aac122bd4f6e得6ec8aac122bd4f6e，两边平方得

    6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e．

    24解：（1）当点6ec8aac122bd4f6e为6ec8aac122bd4f6e的中点时，6ec8aac122bd4f6e。    

    理由如下：6ec8aac122bd4f6e点6ec8aac122bd4f6e分别为6ec8aac122bd4f6e、PD的中点，

    6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e。                           

    6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e                       

    （2）6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e   

     6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e

           6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e          

           6ec8aac122bd4f6e  6ec8aac122bd4f6e

           6ec8aac122bd4f6e，点6ec8aac122bd4f6e是6ec8aac122bd4f6e的中点  6ec8aac122bd4f6e

           又6ec8aac122bd4f6e    6ec8aac122bd4f6e       

           6ec8aac122bd4f6e    6ec8aac122bd4f6e            

    25解:(1)依题意知,6ec8aac122bd4f6e                                          

    ∵6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e.                      

    ∴所求椭圆6ec8aac122bd4f6e的方程为6ec8aac122bd4f6e.                           

    （2）∵ 点6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e关于直线6ec8aac122bd4f6e的对称点为6ec8aac122bd4f6e，

    ∴ 6ec8aac122bd4f6e                              

    解得：6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e.                    

    ∴6ec8aac122bd4f6e.                                    

    ∵ 点6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e在椭圆6ec8aac122bd4f6e:6ec8aac122bd4f6e上,∴6ec8aac122bd4f6e, 则6ec8aac122bd4f6e.

    ∴6ec8aac122bd4f6e的取值范围为6ec8aac122bd4f6e.                             

    26解：(1)当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e.　                                   

    当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e.                                   

    ∵6ec8aac122bd4f6e不适合上式,

    ∴6ec8aac122bd4f6e　　                                   

    （2）证明: ∵6ec8aac122bd4f6e.

    当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e                                 

    当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e,　　　       ①

    6ec8aac122bd4f6e.　 　②

    ①－②得:

    6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e

    得6ec8aac122bd4f6e，                          

    此式当6ec8aac122bd4f6e时也适合.

    ∴6ec8aac122bd4f6eN6ec8aac122bd4f6e.　　                              

    ∵6ec8aac122bd4f6e，

    ∴6ec8aac122bd4f6e.                                            

    当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e，

    ∴6ec8aac122bd4f6e.                                  

    ∵6ec8aac122bd4f6e，

    ∴6ec8aac122bd4f6e.　                                    

    故6ec8aac122bd4f6e，即6ec8aac122bd4f6e.

    综上，6ec8aac122bd4f6e．                          

    6ec8aac122bd4f6e27解：(I)由图象在6ec8aac122bd4f6e处的切线与6ec8aac122bd4f6e轴平行，

    知6ec8aac122bd4f6e，∴6ec8aac122bd4f6e①

    又6ec8aac122bd4f6e，故6ec8aac122bd4f6e，6ec8aac122bd4f6e.

    (II)令6ec8aac122bd4f6e,

    得6ec8aac122bd4f6e或6ec8aac122bd4f6e  

    易证6ec8aac122bd4f6e是6ec8aac122bd4f6e的极大值点，6ec8aac122bd4f6e是极小值点（如图）.

    令6ec8aac122bd4f6e，得6ec8aac122bd4f6e或6ec8aac122bd4f6e.

    分类：(I)当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e，∴6ec8aac122bd4f6e .     ②

    由①，②解得6ec8aac122bd4f6e，符合前提6ec8aac122bd4f6e .  

    (II)当6ec8aac122bd4f6e时，6ec8aac122bd4f6e,

    ∴6ec8aac122bd4f6e.      ③

    由①，③得  6ec8aac122bd4f6e .

    记6ec8aac122bd4f6e,

    ∵6ec8aac122bd4f6e,

    ∴6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e上是增函数，又6ec8aac122bd4f6e，∴6ec8aac122bd4f6e,

    ∴6ec8aac122bd4f6e在6ec8aac122bd4f6e上无实数根.

    综上，6ec8aac122bd4f6e的值为6ec8aac122bd4f6e. 

     


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