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    (1)求证:函数上是增函数, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    函数f(x)=
    1-x
    ax
    +lnx    是[1，+∞）上的增函数．
    （Ⅰ）求正实数a的取值范围；
    （Ⅱ）若函数g（x）=x2+2x，在使g（x）≥M对定义域内的任意x值恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值M=-1叫做f（x）=x2+2x的下确界，若函数f(x)=
    1-x
    ax
    +lnx    的定义域为[1，+∞），根据所给函数g（x）的下确界的定义，求出当a=1时函数f（x）的下确界．
    （Ⅲ）设b＞0，a＞1，求证：ln
    a+b
    b
    ＞
    1
    a+b
    .

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    函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：
    ①对任意的x∈R，有f（x）＞0；
    ②对任意的x，y∈R，都有f（xy）=[f（x）]y；
    ③f(
    13
    )＞1    ．
    （Ⅰ）求f（0）的值；  
    （Ⅱ）求证：f（x）是（-∞，+∞）上的单调递增函数； 
    （Ⅲ）解关于x的不等式：[f（x-2a）]（x+1）＞1．

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    函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且当x＞0时，f（x）＞1．
    （1）求证：f（x）是R上的增函数；
    （2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3．

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    函数f（x）的定义域为R，并满足条件：
    ①对任意x∈R，有f（x）＞0；
    ②对任意x，y∈R，有f（x•y）=[f（x）]y；
    ③f(
    13
    )＞1    ．
    （1）求f（0）的值；   
    （2）求证：f（x）在R上是单调递增函数．

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    函数f(x)=x+
    ax
    （x＞0，a＞0）．
    （1）当a=1时，证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
    （2）若f（x）在（0，2）上是减函数，求a的取值范围．

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    一、选择题：（每小题5分，共60分）

    ADBBC    CDCDC  BD

    二、填空题：（每小题4分，共16分）

    13. .

    14、33

    15、

    16. ① ③ ⑤

    三、解答题

    17、【解】由题意，得

    ．……4分

    （1）∵，，∴，

    ∴． ……8分

    （2）由图象变换得，平移后的函数为，而平移后的图象关于原点对称．

    ∴且，即且，

    ∵，∴，即．……12分

     

    18、【解】解法一（I）证明：

    连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.

    ∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

    ∴四边形A1ABB1是正方形，

    ∴E是A1B的中点，

    又D是BC的中点，

    ∴DE∥A1C. ………………………… 3分

    ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

    ∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

       （II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG.

    ∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

    ∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

    ∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………6分

    设A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

    在△ABE中，，

    在Rt△DFG中，，

    所以，二面角B―AB1―D的大小为 …………………………8分

       （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

    ∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

    在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，

    则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. ……………………………10分

    由△CDH∽△B1DB，得

    解法二：

    建立空间直角坐标系D―xyz，如图，

       （I）证明：

    连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.

    设A1A = AB = 1，

    则

     …………………………3分

    ，

     ……………………………………4分

       （II）解：， ，

    设是平面AB1D的法向量，则，

    故；

    同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………6分

    设二面角B―AB1―D的大小为θ，，

    ∴二面角B―AB1―D的大小为 …………………………8分

       （III）解由（II）得平面AB1D的法向量为，

    取其单位法向量

    ∴点C到平面AB1D的距离 ……………………12分

     

    19、【解】（1）设袋中原有n个白球，由题意知：

    ．

    ∴，解得或（舍去），即袋中原有3个白球．……4分

    （2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5，

    ，，，

    ，．

    所以，取球次数的分布列为：

    1

    2

    3

    4

    5

    P

     

     

     

     

    ……8分

    （3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到

    白球”的事件为A，则，

    因为事件两两互斥，所以

    ．……12分

     

    20、【解】（1）设，则，∴，

    又为奇函数，

    ∴函数的解析式为    ……4分

    （II）假设存在实数a符合题意，先求导，

    ①当a≥时，由于．则≥0．

    ∴函数是上的增函数，

    ∴，则（舍去）．……8分

    ②当时，≤≤；

    ．则

    在上递减，在上递增，

    ∴，解得，

    综合（1）（2）可知存在实数，使得当时，有最小值3．12分

     

    21【解】（1）当n≥2时，，整理得，

    ∴{an}是公比为a的等比数列．……4分

    （2） ，．

    （i）当a＝2时，，，

    两式相减得．

    ∴．……8分

    （ii），∴n为偶数时，，n为奇数时，，若存在满足条件的正整数m，则m为偶数．

    （），当时，，

    ∴，又，

    当时，，即；

    当时，，即．

    故存在正整数m＝8，使得对任意正整数n都有≥．……12分

     

    22、【解】（1）证明：由g(x)=′(x)=

          由xf′（x）＞f(x)可知：g′(x) ＞0在x＞0上恒成立.

          从而g(x)= ………………………………4分

      （2）由（1）知g(x)=

          在x1＞0,x2＞0时， 

    于是＜

    两式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2) …………………………………………8分

    （3）由（2）中可知：

    g(x)=

       由数学归纳法可知：xi＞0(i=1,2,3,…,n)时,

    有f(x1)+f(x2)+f(x3)+… +f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn) (n≥2)恒成立. ……………10分

    设f(x)=xlnx，则在xi＞0(i=1,2,3,…,n)时

    有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)（n≥2）……（*）恒成立.

    令…+=…+

     由＜…+

    ＞…+ ………………………………12分

    (x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1-…+xn)

    (∵ln(1+x)＜x) ＜-   (**)………………………13分

    由（**）代入（*）中，可知：

    …+

    于是：…+…………………14分

     

     

     

     


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