Question

函数f(x)=

1-x

ax

+lnx是[1，+∞）上的增函数．
（Ⅰ）求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）=x²+2x，在使g（x）≥M对定义域内的任意x值恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值M=-1叫做f（x）=x²+2x的下确界，若函数f(x)=

1-x

ax

+lnx的定义域为[1，+∞），根据所给函数g（x）的下确界的定义，求出当a=1时函数f（x）的下确界．
（Ⅲ）设b＞0，a＞1，求证：ln

a+b

b

＞

1

a+b

.

Answer 1

分析：①当函数单调递增时，其导数大于等于0恒成立求参数的范围
②求下确界就是求函数的最小值利用导数求函数的最值
③证明不等式就是求最值

解答：解：（1）f′(x)=

ax-1

ax2

f′(x)=

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立
又

1

x

≤1∴a≥1答：
正实数a的取值范围为a≥1
（2）由（1）可知a=1时，函数f（x）是定义域[1，+∞）上的增函数，
故f（x）_min=f（1）=0，
f（x）≥M恒成立
∴M≤f（x）_min=0
∴M的最大值为0，
∴当a=1时函数f（x）的下确界为0．
答：当a=1时函数f（x）的下确界是0
（3）取x=

a+b

b

，∵a＞1，b＞0，∴

a+b

b

＞1，
由（1）知f(x)=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上是增函数，
∴f(

a+b

b

)＞f(1)=0
∴

1- a+b b

a• a+b b

+ln

a+b

b

＞0，
即ln

a+b

b

＞

1

a+b

点评：导数的应用①知函数的单调性求参数范围 一般转化成道函数恒大于等于0 或小于等于0
②证明不等式转化成函数的最值，若含着对数或指数一般用导数求最值．