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    (理)已知函数 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （理）已知函数f(x)=2+
    1
    a
    -
    1
    a2x
    ，实数a∈R且a≠0．
    （1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；
    （2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
    （3）若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．

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    （理）已知函数f（x）=αx3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，且在f′（x）min=-1（x∈R），
    lim
    x→0
    f(3+x)-f(3)
    x
    =8    ．
    （1）求函数f（x）的表达式；
    （2）若函数f（x）的图象与函数m（x）=nx2-2x的图象有三个不同的交点，且都在y轴的右方，求实数n的取值范围；
    （3）若g（x）与f（x）的表达式相同，是否存在区间[a，b]，使得函数g（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出满足条件的一个区间[a，b]；若不存在，说明理由．

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    （理）已知函数f(x)=
    sinπxx∈[0，1]
    log2011xx∈(1，+∞)
    若满足地f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是
     
    ．
    （文）在平面直角坐标系xOy中，设
    OM
    =(1，
    1
    2
    )    ，
    ON
    =(0，1)    ，动点P（x，y）同时满足
    0≤
    OP
    •
    OM
    ≤1
    0≤
    OP
    •
    ON
    ≤1
    则z=x+y的最大值是
     
    ．

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    精英家教网精英家教网（理）已知函数f(x)=
    ln(2-x2)
    |x+2|-2
    ．
    （1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
    （2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
    （3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列
    {an}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．
    （文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
    （1）求证：F＜0；
    （2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且
    AB
    •
    AD
    =0    ，求D2+E2-4F的值；
    （3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判
    断点O、G、H是否共线，并说明理由．

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    （理）已知函数f（x）=（
    13
    ）x（x≤1）的反函数
     
    ．

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    一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）

    1．A    2．B    3．C    4．A    5．D    6．C    7．B    8．C    9．A

    10．B   11．（理）C（文）B       12．D

    二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）

    13．                           14．②③                 15．47                    16．□

    三、解答题（本大题共6小题，共计76分）

    17．解：

       （1）依题意函数的图象按向量平移后得

                                                    ………………………2分

           即=                                                ………………………4分

           又

           比较得a=1，b=0                                                                  ………………………6分

       （2）

           =                                                             ………………………9分

          

          

           ∴的单调增区间为[，]          ……………………12分

    18．解：

       （1）设连对的个数为y，得分为x

           因为y=0，1，2，4，所以x=0，2，4，8.

          

    x

    0

    2

    4

    8

       

           于是x的分布列为

    ……9分

     

     

       （2）Ex=0×+2×+4×+8×=2

           即该人得分的期望为2分。                                                     ……………………12分

       （文）

       （1）从口袋A中摸出的3个球为最佳摸球组合即为从口袋A中摸出2个红球和一个黑球

           其概念为                                                     ……………………6分

       （2）由题意知：每个口袋中摸球为最佳组合的概率相同，从5个口袋中摸球可以看成5

           次独立重复试验，故所求概率为………………………12分

    19．解法一：以D为原点，DA，DC，DD1

           所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建

           立空间直角坐标系D―xyz，则

           A（a，0，0）、B（a，2a，0）、

           C（0，2a，0）、A1（a，0，a）、

           D1（0，0，a）。E、P分别是BC、A1D1

           的中点，M、N分别是AE、CD1的中点

           ∴……………………………………2分

       （1）⊥面ADD1A1

           而=0，∴⊥，又∵MN面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1；………4分

       （2）设面PAE的法向量为，又

           则又

           ∴=（4，1，2），又你ABCD的一个法向量为=（0，0，1）

           ∴

           所以二面角P―AE―D的大小为                        ………………………8分

       （3）设为平面DEN的法向量⊥，⊥

           又=（），=（0，a，），（，0，a）

           ∴所以面DEN的一个法向量=（4，-1，2）

           ∵P点到平面DEN的距离为

           ∴

          

           所以                                              ……………………12分

           解法二：

       （1）证明：取CD的中点为K，连接

           ∵M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点

           ∴MK∥AD，ND∥DD1，∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1

           ∴面MNK∥面ADD1A1，∴MN∥面ADD1A1，                     ………………………4分

       （2）设F为AD的中点，∵P为A1D1的中点

           ∴PF∥DD1，PF⊥面ABCD

           作FH⊥AE，交AE于H，连结PH，则由三垂

           线定理得AE⊥PH，从而∠PHF为二面角

           P―AE―D的平面角。

           在Rt△AAEF中，AF=，EF=2，AE=，

           从而FH=

           在Rt△PFH中，tan∠PHF=

           故：二面角P―AE―D的大小为arctan

       （3）

           作DQ⊥CD1，交CD1于Q，

           由A1D1⊥面CDD1C1，得A1D1⊥DQ，∴DQ⊥面BCD1A1。

           在Rt△CDD1中，

           ∴  ……………………12分

    20．解：（理）

       （1）函数的定义域为（0，+）

           当a=-2e时，            ……………………2分

           当x变化时，，的变化情况如下：

    （0，）

    （，+）

    ―

    0

    ＋

    ㄋ

    极小值

    ㄊ

           由上表可知，函数的单调递减区间为（0，）

           单调递增区间为（，+）

           极小值是（）=0                                                           ……………………6分

       （2）由           ……………………7分

           又函数为[1，4]上单调减函数，

           则在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立。

           即在,[1，4]上恒成立                                           ……………………10分

           又=在[1，4]上为减函数

           ∴的最小值为

           ∴                                                                            ……………………12分

       （文）（1）∵函数在[0，1]上单调递增，在区间上单调递

           减，

           ∴x=1时，取得极大值，

           ∴

           ∴4-12+2a=0a=4                                                                                      ………………………4分

       （2）A（x0，f（x0））关于直线x=1的对称点B的坐标为（2- x0，f（x0）

          

           =

           ∴A关于直线x=1的对称点B也在函数的图象上            …………………8分

       （3）函数的图象与函数的图象恰有3个交点，等价于方程

           恰有3个不等实根，

          

           ∵x=0是其中一个根，

           ∴方程有两个非零不等实根

                                           ……………………12分

    21．解：（理）（1）由已知得：

                  

           ∵                                                     ①…………………2分

           ∴                                                                 ②

           ②―①

           即

           又

           ∴                                                                      ……………………5分

           ∴{an}成等差数列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分

       （2）∵

           ∴

           ∴                   …………………8分

           两式相减

          

           ∴                                                          ……………………10分

           ∴               ……………………12分

       （文）（1）由已知得：

          

           ∴

           ∵                                                     ①…………………2分

           ∴                                                                 ②

           ②―①

           即

           又

           ∴                                                                      ……………………5分

           ∴{an}成等差数列，且d=1，又a1=1，∴…………………6分

       （2）∵

           ∴

           ∴                   …………………8分

           两式相减

          

           ∴                                                          ……………………10分

           ∴               ……………………12分

    22．解：（1）

           设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PM⊥x轴，

           所以点P的坐标为（x，3y）                                                  …………………2分

           点P在椭圆，所以

           因此曲线C的方程是                                           …………………5分

       （2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件

           所以设直线l的方程为与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），N点所在直线方

           程为

           ，由得

                                                   ……………………6分

           由△=………………8分

           ∵,所以四边形OANB为平行四边形              …………………9分

           假设存在矩形OANB，则

          

          

           所以

           即                                                                   ……………………11分

           设N（），由，得

           ，

           即N点在直线

           所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为 ……………………14分

     

     

     


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