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青年歌手电视大赛共有10名选手参加，并请了7名评委，如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，流程图用来编写程序统计每位选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值)，试根据所给条件回答下列问题：
(1) 根据茎叶图，选手乙的成绩中，众数是多少？选手甲的成绩中，中位数是多少？

(2) 在流程图(如图所示)中，用k表示评委人数，用a表示选手的成绩(各评委所给有效分数的平均值)．横线①、②处应填什么？
(3) 根据流程图，甲、乙的成绩分别是多少？

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青少年“心理健康”问题已引起了全社会的关注，学校对此问题极为重视、对全校600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚为完成的频率分布直方表．
请回答下列问题：
（1）填写频率分布直方表中的空格；
（2）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，试估计该校成绩优秀的有

 

人．

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一、ABCBD  BCABD

二、11.2    12.     13.4    14.10    15. ①②③

三、16. 解：（1），             3分

由已知，得．         6分

（2）由（1）得，      8分

当时，的最小值为，             10分

由，得值的集合为．   13分

17. 解：（I）取AB的中点O，连接OP，OC      PA=PB   POAB

    又在中，，

    在中，，又，故有

         又， 面ABC       4分

      又  PO面PAB，面PAB面ABC              6分

（Ⅱ）以O为坐标原点， 分别以OB，OC，OP为轴，轴，轴建立坐标系，

如图，则A   8分

 设平面PAC的一个法向量为。

            得

  令，则     11分

设直线PB与平面PAC所成角为 ，

于是     13分

18. 解：（1）；                4分

（2）消费总额为1500元的概率是：                 5分

消费总额为1400元的概率是：    6分

消费总额为1300元的概率是：

＝，

所以消费总额大于或等于1300元的概率是；              8分

（3），

，

＝

。所以的分布列为：

0

1

2

3

0.294

0.448

0.222

0.036

数学期望是：。       13分

19. 解：∵的右焦点 

∴椭圆的半焦距，又，

∴椭圆的， .椭圆方程为.

（Ⅰ）当时，故椭圆方程为，      3分

（Ⅱ）依题意设直线的方程为：，

联立  得点的坐标为.      4分

将代入得.

设、，由韦达定理得，.   5分

又，.

                7分

有实根， ∴点可以在圆上.        8分

（Ⅲ）假设存在满足条件的实数，

由解得：.     10分

∴，，又.即的边长分别是、、 .时，能使的边长是连续的自然数。      13分

20. 解：（1）．                    1分

  　当时，，在上单调递增；                2分

当，时，，在上单调递减；

时，，在上单调递增．            3分

综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．                     4分

（2）充分性：时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，

即。而在上单调递减，在上单调递增，

所以在上有唯一的一个零点x=1．                    6分

必要性：若函数f(x)存在唯一零点，即方程=0在上有唯一解，

因, 由（1）知，在处有极小值也是最小值f(a)，

 f(a)=0,即．                        7分

令， ．

当时，，在上单调递增；当时，，

在上单调递减。，=0只有唯一解．

因此=0在上有唯一解时必有．

综上：在时， =0在上有唯一解的充要条件是．    9分

（3）证明：∵1<x<2, ∴.

 令，∴，11分

由（1）知，当时，，∴，

∴．∴，                      12分

∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴，

∴。∴．             14分

21. （Ⅰ）解：考虑在矩阵作用下，求出变换后的三角形的顶点坐标，从而求得三角形的面积，可先求得，由＝，得点在矩阵作用下变换所得到的点，同理求得在矩阵作用下变换所得到的点分别是，，计算得△的面积为3．                7分

（Ⅱ）解：直线的极坐标方程，则，

    即，所以直线的直角坐标方程为；     2分

设，其中，则P到直线的距离

，其中，∴ 当时，的最大值为；当时，的最小值为。         7分

（Ⅲ）解：由柯西不等式，得，    2分

即．由条件，得．解得，  2分

当且仅当 时等号成立．代入时，；时，．所以，的取值范围是．            7分