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    转化为等比数列求和问题.本题也可利用数学归纳法进行.证明如下: 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    精英家教网1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB=3米，立在一个底座上，底座的高BC=2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，你能说明点M为所求的点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的距离．

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    阅读下列材料：
    ∵
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )    ；
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )    ；
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )    ；
    1
    2003×2005
    =
    1
    2
    (
    1
    2003
    -
    1
    2005
    )
    …
    ∴
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    2003×2005

    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +
    1
    5
    -
    1
    7
    +…+
    1
    2003
    -
    1
    2005
    )
    解答下列问题：
    （1）在和式
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…    中，第5项为
     
    ，第n项为
     
    ，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以
     
    ，从而达到求和目的．
    （2）利用上述结论计算
    1
    x(x+2)
    +
    1
    (x+2)(x+4)
    +
    1
    (x+4)(x+6)
    +…+
    1
    (x+2004)(x+2006)
    ．

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    阅读下列材料：
    ∵
    1
    1×3
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )    ，
    1
    3×5
    =
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )    ，
    1
    5×7
    =
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )    ，…
    1
    17×19
    =
    1
    2
    (
    1
    17
    -
    1
    19
    )    ，
    ∴
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…+
    1
    17×19

    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    )+
    1
    2
    (
    1
    3
    -
    1
    5
    )+
    1
    2
    (
    1
    5
    -
    1
    7
    )+…+
    1
    2
    (
    1
    17
    -
    1
    19
    )
    =
    1
    2
    (1-
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    5
    +
    1
    5
    -
    1
    7
    +…+
    1
    17
    -
    1
    19
    )
    =
    1
    2
    (1-
    1
    19
    )=
    9
    19
    ．
    解答下列问题：
    （1）在和式
    1
    1×3
    +
    1
    3×5
    +
    1
    5×7
    +…    中，第6项为
     
    ，第n项是
     
    ．
    （2）上述求和的想法是通过逆用
     
    法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以
     
    ，从而达到求和的目的．
    （3）受此启发，请你解下面的方程：
    1
    x(x+3)
    +
    1
    (x+3)(x+6)
    +
    1
    (x+6)(x+9)
    =
    3
    2x+18
    ．

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    我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
    数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
    例如：求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数．
    对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
    如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为
    n(n+1)
    2
    ，即1+2+3+4+…+n=
    n(n+1)
    2
    ．
    （1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
    （2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，精英家教网并利用图形做必要的推理说明）

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    数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
    例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数．
    对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
    如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为
    n(n+1)
    2
    ，即1+2+3+4+…+n=
    n(n+1)
    2
    ．精英家教网
    （1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
    （2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

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