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    题目列表(包括答案和解析)

    (本题满分13分)已知f(x)= (x<-2)，f(x)的反函数为g(x)，点A(an， )在曲线y=g(x) (n??N*)上，且a1＝1。

    （Ⅰ）求y＝g(x)的表达式；

    （Ⅱ）证明数列{}为等差数列。

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    (本题满分13分)

    已知各项均为正数的等差数列，其前n项和S满足10S = a  + 5a + 6；等比数列满足b = a，b = a，b = a；数列满足．(1)求数列的通项公式；

    (2)求数列的前n项和T．

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    (本题满分13分) 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、 三点.  （1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程．

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    (本题满分13分)已知数列{a}对任意的n∈N,n≥2时有a=3a+2,S=18.(1)计算a、a、a、a、a的值；(2)若数列{T}有T=an+1-a,求T的表达式；(3)求数列{a}的通项公式.

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    (本题满分13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=(3n+Sn)对一切正整数n成立

    （I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；

    （II）设，求数列的前n项和Bn；

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    一．选择题：

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    答案

    C

    A

    C

    B

    B

    A

    B

    D

    二．填空题：

    9．6、30、10；              10．；            11．；

    12．；                  13．{0<≤3}；                      14．③④

    三、 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

    15．解： ；  ………5分

    方程有非正实数根

     

    综上： ……………………12分

    16. 解：（Ⅰ）设取出的4件中有2件合格品或3件合格品分别为事件A、B，则

            

             ∵A、B为两个互斥事件      ∴P（A+B）=P（A）+P（B）=

            答： 取出2件合格品或3件合格品的概率为…………6分

       （Ⅱ）取出4件都为合格品的事件为C，则P（C）=

    至少取出一件次品的事件为事件C的对立事件,其概率为

         答：至少取出一件次品的概率为.…………13分

    17．解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b

    由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得

    a＝，b＝－2。。。。。。。。。4分

    f¢（x）＝32－－2＝（3＋2）（－1），函数f（x）的单调区间如下表：

    （－¥，－）

    －

    （－，1）

    1

    （1，＋¥）

    f¢（x）

    ＋

    0

    －

    0

    ＋

    f（x）

    ­

    极大值

    ¯

    极小值

    ­

    所以函数f（）的递增区间是（－¥，－）与（1，＋¥）

    递减区间是（－，1）。。。。。。。。。。。7分

    （2）f（x）＝3－2－2＋c，Î，由（1）当＝－时，f（x）＝＋c

    为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。

    要使f（x）<c2（Î）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c

    解得c<－1或c>2 。。。。。。。。。。。。13分

     

    18．（Ⅰ）证明：∵底面，底面，∴

    又∵且平面， 平面， ，

    ∴平面；4分

    　（Ⅱ）解：∵点分别是的中点，

    ∴，由（Ⅰ）知平面，∴平面，

    　∴，，

    　∴为二面角的平面角，7分

    　∵底面，

    　∴与底面所成的角即为，

    　∴＝，

    　∵为直角三角形斜边的中点，

    　∴为等腰三角形，且，

    　∴，∴二面角的大小为；9分

    （Ⅲ）法１：过点作交于点，则或其补角即为异面直

    　　　线所成的角，11分

    ∵为的中点,∴为为的中点, 设，则由得，又，∴　∴＝，∴，

    ∴由（Ⅱ）知为直角三角形，且    ，

    ，∴，

    在直角三角形中，，

    ∴，

    ∴在三角形中，，13分

    ∴为直角三角形，为直角，

    ∴异面直线所成的角为．14分

    或者用三垂线定理，首先证明DB与BC垂直也可以

    因为　∴＝，又，

    所以，即DB与BC垂直

    法２：以点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，设，则，，，则

    则，，，

    ，∴异面直线所成的角为……………． 14分

    19．解：1）由＝.＝，∴＝1；……….4分

    （2）＝在（1，＋∞）上是单调递减函数，

    任取、∈（1，＋∞），且设＜，则：

    －＝＞0，

    ∴＝在（1，＋∞）上是单调递减函数；……………9分

    （3）当直线＝（∈R）与的图象无公共点时，＝1，

    ∴＜2＋＝4＝，｜－2｜＋＞2，

    得：＞或＜…………..14分

    20．解

    （1）当时，     

        设为其不动点，即

    则    的不动点是－1，2……….. 4分

    （2）由得：.  由已知，此方程有相异二实根，

    恒成立，即即对任意恒成立.

    …………………. …………10分

    （3）设，

    直线是线段AB的垂直平分线，   ∴

    记AB的中点由（2）知   

    化简得：时，等号成立）.

    ……………………………………………………………14分

     


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