如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm²，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

B

D

A

B

A

B

1. A∵  ∴ 即， ，

∴  故选A；

2  C   

3  B  

4. D．由奇函数可知，而，则，当时，；当时，，又在上为增函数，则奇函数在上为增函数，.

5  A  如图知是斜边为3 的等腰直角三角形，是直角边为1等腰直角三角形，区域的面积

6. B    ，而

        所以，得

7. A  

      ，即

8. B  ，所以解集为，

又，因此选B。

二、填空题

9. （－，1）.   10. .   11.    12.    13. .

14. .

9. ，，

∴点M的直角坐标为（－，1）。

10.

11.    联立解方程组解得，

即两曲线的交点为

12. . ∴，

13. .

14. .依题意得

所以，

三、解答题

15解：解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000.      ①

广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.

广告的面积S＝(a+20)(2b+25)

＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b

≥18500+2=18500+

当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75.

即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.

故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.

解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25

两栏面积之和为2(x－20),由此得y=

广告的面积S=xy=x()＝x,

整理得S=

因为x－20＞0，所以S≥2

当且仅当时等号成立，

此时有(x－20)²＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，

即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，

故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.

16. 证明：因为为正实数，由平均不等式可得

      即  

      所以，

      而

      所以

17. 解：（Ⅰ）

图像如下：

（Ⅱ）不等式，即，

由得．

由函数图像可知，原不等式的解集为

18.解：函数的定义域为，且

19. （1）A

=

（2）

．

          ∴

20．解：对任意,,,,所以,对任意的，

，

，所以

0<

,令=，，

,所以．

反证法:设存在两个使得,则

由，得，所以，矛盾，故结论成立。

，所以

+…

．