如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小
解析试题分析:解法1:设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm,则ab=9000. ①
广告的高为a+20,宽为2b+25,其中a>0,b>0.
广告的面积S=(a+20)(2b+25)
=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b
≥18500+2=18500+
当且仅当25a=40b时等号成立,此时b=,代入①式得a=120,从而b=75.
即当a=120,b=75时,S取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小.
解法2:设广告的高为宽分别为x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为x-20,其中x>20,y>25
两栏面积之和为2(x-20),由此得y=
广告的面积S=xy=x()=x,
整理得S=
因为x-20>0,所以S≥2
当且仅当时等号成立,
此时有(x-20)2=14400(x>20),解得x=140,代入y=+25,得y=175,
即当x=140,y=175时,S取得最小值24500,
故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小.
考点:不等式求解最值
点评:解决的关键是利用函数的性质或者是均值不等式求解最值,关键是设好变量,表示广告的面积,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某公司试销一种新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件,又不高于800元/件,经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价(元/件),可近似看做一次函数的关系(图象如下图所示).
(1)根据图象,求一次函数的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元,
①求S关于的函数表达式;
②求该公司可获得的最大毛利润,并求出此时相应的销售单价.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
己知某公司生产某品牌服装的年固定成木为10万元,每生产一千件需另投入2.7万元,设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每销售一千件的收入为R(x)万元,且
(注:年利润=年销售收入一年总成本)
(1)写出年利润W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设二次函数满足下列条件:
①当时, 的最小值为0,且恒成立;
②当时,恒成立.
(I)求的值;
(Ⅱ)求的解析式;
(Ⅲ)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当时,就有成立
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知定义在的函数,对任意的、,都有,且当时,.
(1)证明:当时,;
(2)判断函数的单调性并加以证明;
(3)如果对任意的、,恒成立,求实数的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题共12分)
已知函数的图象过点,且在内单调递减,在上单调递增。
(1)求的解析式;
(2)若对于任意的,不等式恒成立,试问这样的是否存在.若存在,请求出的范围,若不存在,说明理由;
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