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在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L：y=x²，实数p，q满足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}.
（1）过点A（p₀，p₀）（p₀≠0）作L的切线教y轴于点B。证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有φ（p，q）=；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a²-4b>0，a≠0。过M（a，b）作L的两条切线l₁，l₂，切点分别为E（p₁，p₁²），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂与y轴分别交与F，F'。线段EF上异于两端点的点集记为X。证明：M（a，b）∈X|P₁|＞|P₂|φ（a，b）=；
（3）设D={（x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}，当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φ_min）和最大值（记为φ_max）。

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在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x²．实数p，q满足p²-4q≥0，x₁，x₂是方程x²-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x₁|，|x₂|}．
（1）过点，A（p，p²）（p≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a²-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l₁，l₂，切点分别为E（p₁，），E′（p₂，p₂²），l₁，l₂与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X?|P₁|＜|P₂|?φ（a，b）=．
（3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥（x+1）²-}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φ_min）和最大值（记为φ_max）

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一、选择题：

题号

答案

1、解析：，N＝，

即．答案：．

2、解析：由题意得，

又．

答案：．

3、解析：程序的运行结果是．答案：．

4、解析：与直线垂直的切线的斜率必为4，而，所以，切点为．切线为，即，答案：．

5、解析：由一元二次方程有实根的条件，而，由几何概率得有实根的概率为．答案：．

6、解析：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，所以正确；如果两个平面与同一条直线垂直，则这两个平面平行，所以正确；

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，则这两个平面平行，所以也正确；

只有选项错误．答案：．

7、解析：由题意，得，答案：．

8、解析：的图象先向左平移，横坐标变为原来的倍．答案：．

二、填空题：

题号

答案

9、解析：若，则，解得．

10、解析：由题意．

11、解析：

12、解析：令，则，令，则，

令，则，令，则，

令，则，令，则，

…，所以．

13、解析：：；则圆心坐标为．

：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为，所以要求的最短距离为．

14、解析：由柯西不等式，答案：．

15、解析：显然与为相似三角形，又，所以的面积等于9cm．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、解: (1),    ……………………… 2分

 ∴，………………………………………………… 4分

 解得．………………………………………………………………… 6分

(2)由,得：,     ……………………… 8分

∴    ………………………………… 10分

∴．…………………………………………………………… 12分

17、解：（1）… 2分

则的最小正周期，      …………………………………4分

且当时单调递增．

即为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．……6分

（2）当时，当，即时．

所以．      …………………………9分

为的对称轴．      …………………12分

18、解：

（1）解法一：“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，

记“有放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件，………………………2分

∵“两球恰好颜色不同”共种可能，…………………………5分

∴． ……………………………………………………7分

解法二：“有放回摸取”可看作独立重复实验， …………………………2分

∵每次摸出一球得白球的概率为．………………………………5分

∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为． …………………7分

（2）设摸得白球的个数为，依题意得：

，，．

… 10分

∴，……………………………………12分

．……………………14分

19、(1)证明:  连结，与交于点，连结.………………………1分

  是菱形, ∴是的中点. ………………………………………2分

  点为的中点, ∴.   …………………………………3分

  平面平面, ∴平面.  ……………… 6分

(2)解法一:

 平面,平面,∴ .

，∴.  …………………………… 7分

是菱形,  ∴.

，

∴平面.  …………………………………………………………8分

作，垂足为，连接，则,

所以为二面角的平面角. ………………………………… 10分

,∴，.

在Rt△中,=，…………………………… 12分

∴.…………………………… 13分

∴二面角的正切值是. ………………………… 14分

解法二：如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令，……………2分

则，,．

∴．  ……………4分

设平面的一个法向量为,

由，得，

令，则，∴.  …………………7分   

平面,平面,

∴.  ………………………………… 8分

，∴.

是菱形,∴.

，∴平面.…………………………… 9分

∴是平面的一个法向量,．………………… 10分

∴，

∴，  …………………… 12分 

∴．…………………………………… 13分 

∴二面角的正切值是.  ……………………… 14分

20、解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设的方程为,即,代入抛物线方程得:,设，