如图，△ABC中，BC=2

3

，

AB

•

AC

=4，

AC

•

CB

=2，双曲线M是以B、C为焦点且过A点．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求双曲线M的方程；
（Ⅱ）设过点E（1，0）的直线l分别与双曲线M的左、右支交于
F、G两点，直线l的斜率为k，求k的取值范围．；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的直线l，是否存在k≠0使|OF|=|OG|若有求出k的值，若没有说明理由．（O为原点）

如图直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=

π

2

，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（1）求

SC

与

OB

的夹角α的大小（用反三角函数表示）；
（2）设

n

=（1，p，q），满足

n

⊥平面SBC，求：
①

n

的坐标；
②OA与平面SBC的夹角β（用反三角函数表示）；
③O到平面SBC的距离．
（3）设

k

=(1，r，s)满足

k

⊥

SC

且

k

⊥

OB

．填写：
①

k

的坐标为．
②异面直线SC、OB的距离为．（注：（3）只要求写出答案）

如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（Ⅰ）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；
（Ⅱ）设OP=x（km），将y表示成x的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．

如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG、MK，且以MG、MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲线段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），设点M的坐标为（s，t），记z=s•t．（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度
（1）求z的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台MGK面积S_△MGK关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值．

如图，矩形ABCD中，AB=

8 3

3

，BC=2，椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆M的离心率大于0.7．
（I）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M的方程；
（II）过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于P，Q两点，设椭圆的右焦点为F₂，当∠PF2Q=

2π

3

时，求△PF₂Q的面积．