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    (理)设是区间D上的任意两点.若函数满足成立.则称函数在区间D上下凸. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设x1、x2是区间D上的任意两点，若函数y=f(x)满足f(成立,则称函数y=f(x)在区间D上下凸.

    (1)证明函数f(x)=x+在区间(0,+∞)上下凸.

    (2)若函数y=f(x)在区间D上下凸,则对任意的x1,x2,…,xn∈D 有.试根据下凸倒数的这一性质,证明若x1,x2,…,xn∈(0,+∞),则(x1+x2+…+xn)≥n2.

    (文)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且a3,a9,a6成等差数列,问:S3,S9,S6是否成等差数列?

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    设F1、F2分别是椭圆C:+=1(a＞b＞0)的左、右焦点,l为左准线,A1、A2分别为其长轴的左、右端点.

    (1)若椭圆上的点M(1,)到F1、F2的距离之和为4,求椭圆方程;

    (2)有一个猜想:“设P(x1,y1)、Q(x2,y2)(y1y2≠0)是椭圆C上的任意两点，若P、F1、Q三点共线,则直线PA1、QA2、l共点.”你认为这个猜想能成立吗？请说明理由.

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    若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
    f(x1)+f(x2)
    2
    ≤f（
    x1+x2
    2
    ）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．
    （1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）是凸函数；
    （2）设f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数
    f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
    （3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
    试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．

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    对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的任意实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称g（x）为函数f（x）区间D上的一个“覆盖函数”．设f（x）=-2xlnx-x2，g（x）=-ax+3．若g（x）为函数f（x）在区间（0，+∞）上的一个“覆盖函数”，则实数a的取值范围是（　　）

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    若函数f（x）对任意的实数x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”，
    （1）判断g（x）=sinx和h（x）=x2-x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；
    （2）若数列{xn}对所有的正整数n都有 |xn+1-xn|≤
    1
    (2n+1)2
    ，设yn=sinxn，求证：|yn+1-y1|＜
    1
    4
    ．

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