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第16届亚运会将于2010年11月12日至27日在中国广州进行，在安全保障方面，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选。假定某基地有4名武警战士（分别记为A、B、C、D）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为。这三项测试能否通过相互之间没有影响。试卷
（1）求A能够入选的概率；试卷                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
（2）规定：按人选人数得训练经费（每人选1人，则相应的训练基地得到3000元的训练经费），求该基地得到训练经费的分布列与数学期望。

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

A

D

B

C

C

D

D

A

C

二、填空题

13．     14．      15．4       16．③④

三、解答题

17．解：（1）∵，，

∴．           …………2分

又，       …………4分

∴，∴．                 …………6分

   （2）∵，，，

∴．      …………8分

∵，

∴．

∴，

∴.…………10分

18．（1）证明：连结BD交AC于点M，取BE的中点N，

连结MN，则MN∥ED且MN＝ED，依题意，

知AG∥ED且AG＝ED，

∴MN∥AG且MN＝AG．

故四边形MNAG是平行四边形， AM∥ＧＮ，

即AC∥ＧＮ，…………3分

又∵

∴　AC∥平面GBE．…………6分

   （2）解：延长EG交DA的延长线于H点，

连结BH，作AO⊥GH于O点，连结BO．

∵　平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，AB⊥AD

∴　AB⊥平面ADEF，由三垂线定理，知AB⊥GH，

故∠AOB就是二面角B－GE－D的平面角．…………8分

∵　平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD ，ED⊥AD

∴　ED⊥平面ABCD，

故∠EBD就是直线BE与平面ABCD成的角，……10分

知∠EBD＝45°，设AB＝a，则BE＝BD＝a．

在直角三角形AGH中：AH＝AD= a，AG＝＝a，

HG＝，AO＝．

在直角三角形ABO中：tan∠AOB＝．

∴　∠AOB＝60°．

故二面角B－GE－D的大小为60°．…………12分

19．解：（1）记A₀表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A₁表示事件“取出的2件产品中恰有1件是二等品”．则A₀、A₁互斥，且A＝A₀＋A₁．

故P （A）＝P （A₀＋A₁）＝P （A₀） ＋P （A₁）＝（1－p）²＋Cp （1－p）＝1－p²．

依题意，知1－p²＝0.96，又p＞0，得p＝0.2．…………6分

   （2）（理）ξ可能的取值为0，1，2．

若该批产品共100件，由（1）知，其中共有二等品100×0.2＝20件，故

Ｐ（ξ＝0）＝．Ｐ（ξ＝1）＝．  

Ｐ（ξ＝2）＝．…………9分

所以ξ的分布列为

ξ

0

1

2

P

ξ的期望…………12分

20．解 （1）在上单调递增，上单调递减，

       有两根，

            ……4分

    令，

    则，

因为在上恒大于0，所以在上单调递增，

故，  ，

        .                            ……………6分

   （2），

     ．

      ．                        ………………8分

      ①当时，，定义域为，

    恒成立，上单调递增；           …………9分

       ②当时，，定义域：，

       恒成立，上单调递增；     …………10分

       ③当时，，定义域：，

       由得，由得．

       故在上单调递增；在上单调递减.     …………11分

       所以当时，上单调递增，故无极值；

       当时，上单增；故无极值.

       当时，在上单调递增；在上单调递减.

       故有极小值,且的极小值为. …12分

21．解：（I）设依题意得

…………2分

消去，整理得．…………4分

    当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

    当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；

    当时，方程表示圆．        …………6分

   （II）当时，方程为，   

       设直线的方程为，

                         …………8分

消去得．…………10分

根据已知可得，故有，

，

直线的斜率为．  …………12分

22．证明  （Ⅰ）即证.

  ，，，

  .…………2分

假设，则

，…………4分

，

  .

综上所述，根据数学归纳法，命题成立. …………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ），得

，…………8

  .…………10

又  ，  ，

即.………12分