题目列表(包括答案和解析)
已知函数
，其中a为实数．
(Ⅰ)当
时，求函数f(x)的极大值点和极小值点；
(Ⅱ)若对任意a∈(2，3)及x∈[1，3]时，恒有ta2－f(x)＞
成立，求实数t的取值范围．
(Ⅲ)已知g(x)＝a2x2＋ax＋1，m(x)＝
x3－(a2＋
)x2＋(2a＋5)x－3，h(x)＝f(x)＋m(x)，设函数
是否存在a，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2(x2≠x1)，使得
(x2)＝
(x1)成立？若存在，求a的值；若不存，请说明理由．
已知
（1）当a=1时，求
的单调区间
（2）是否存在实数a，使的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．
的单调区间
的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．已知
，
，
。
（1）求
在点
处的切线与直线
及曲线所围成的封闭图形的面积；
（2）是否存在实数
，使
的极大值为3？若存在，求出的值，若不存在，
请说明理由.
已知
，
，
（1）当
时，求
的单调区间
（2）若在
上是递减的，求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数，使的极大值为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
一、选择题（每小题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
D
C
A
B
D
二、填空题（每小题5分，共30分）
9.84； 10.
； 11.45； 12. -6； 13.
； 14.
； 15.3
三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）
16. 解：（1）
则
的最小正周期
， ……………………………4分
且当
时单调递增．
即
为的单调递增区间（写成开区间不
扣分）．…………6分
（2）当
时
，
当
，即
时
．
所以
． ……………9分
为的对称轴． ……12分
17. 解：（1）依题意，
的可能取值为1，0，-1
………1分
的分布列为
…4分
1
0
p
=
=…………6分
（2）设
表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为……8分
2
…………10分
依题意要求
… 11分
∴
………12分
注：只写出
扣1分
18. 解：（1）①当直线
垂直于
轴时，则此时直线方程为
，与圆的两个交点坐标为
和
，其距离为
满足题意 ………1分
②若直线不垂直于轴，设其方程为
，即
设圆心到此直线的距离为
，则
，得
…………3分
∴
，
，
故所求直线方程为
综上所述，所求直线为或 …………7分
（2）设点
的坐标为
（
），
点坐标为
则
点坐标是
…………9分
∵
，
∴
即
，
…………11分
又∵
，∴
∴点的轨迹方程是
，
…………13分
轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。 …………14分
19.解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂线定理） 4分
（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为
如图乙的最短路程为
………………9分
（3）假设存在，平面DEC的法向量
，
设平面D1EC的法向量
，则
…………………12分
由题意得：
解得：
（舍去）
………14分
20. 解：（1）当
.…（1分）
……（3分）
∴
的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：
，
.
……（4分）
（2）切线的斜率为
，
∴ 切线方程为
.……（6分）
所求封闭图形面积为
.
……（8分）
（3）
， ……（9分）
令
.
……（10分）
列表如下：
x
(－∞，0)
0
（0，2－a）
2－a
(2－a，+ ∞)
－
0
+
0
－
ㄋ
极小
ㄊ
极大
ㄋ
由表可知，
.
……（12分）
设
，
∴
上是增函数，……（13分）
∴
，即
，
∴不存在实数a，使极大值为3.
……（14）
21.解：（1）由
而
解得A=1……………………………………2分
（2）令
当n=1时，a1=S1=2,当n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2+n
综合之：an=2n…………………………………………6分
由题意
∴数列{cn+1}是为公比，以
为首项的等比数列。
………………………9分
（3）当
………………………11分
当
………13分
综合之：
………14分
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