题目列表(包括答案和解析)
（本题15分）如图，椭圆
长轴端点为
，
为椭圆中心，
为椭圆的右焦点,且
，
．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为
，
直线
交椭圆于
两点，问：是否存在直线，使点恰为
的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
（本题15分） 已知椭圆
的离心率为
，短轴的一个端点到右焦点的距离为
，直线
交椭圆于不同的两点
，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若
，且
，求
的值（
点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点到直线
的距离为
，求
面积的最大值．
（本题15分）已知椭圆
的离心率为
，短轴的一个端点到右焦点的距离为
，直线
交椭圆于不同的两点
，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若
，且
，求
的值（
点为坐标
原点）；
（Ⅲ）若坐标原点到直线
的距离为
，求
面积的最大值．
（本题15分）设函数
.
(Ⅰ)求函数
的单调区间；
(Ⅱ)当
时,是否存在整数
，使不等式
恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。
(Ⅲ)关于
的方程
在
上恰有两个相异实根,求实数
的取值范围。
（本题15分）某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（１）当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?（２）当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少?
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
解答
B
D
A
B
D
B
D
C
D
C
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分
11． 负
12． 
13．
14． 
15． 2 16． 2125
17．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．解：（1）
=
，得：
=
，
即：
，
…………………………………………………………３分
又∵０＜
＜
，
∴=
．
…………………………………………………………５分
（2）直线
方程为：
．
，点
到直线的距离为：
．
∵
∴
， …………………………………………………………9分
∴
， …………………………………………………………11分
又∵０＜＜，
∴sin＞0，cos＜0； …………………………………………………………12分
∴
∴sin-cos=
……………14分
19.(Ⅰ)证明：
连Ａ1B，Ｄ
……２分
连结
，则
又
，故D1E⊥平面AB
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，Ｅ为棱BC的中点．
………………9分
(Ⅲ).
………………………11分
在
中，
………………………14分
20. (Ⅰ)证明:令
，总有
恒成立．
，总有
恒成立．
即 
令 
令
故函数
是奇函数.
………………………………………………5分
(Ⅱ) 
，
．…………………………………………8分
……………………………………………………………………………10分
(Ⅲ)
……………………………………………………………………………15分
21．解：（Ⅰ）若
为等腰直角
三角形，所以有OA=OF2，即b=c ． ………2分
所以
…………５分
（Ⅱ）由题知
其中，
．
由
…８分
将B点坐标代入
，
解得
． ① ……………………………………………………10分
又由
② …12分
由①, ②解得,
所以椭圆方程为
．
……………………………………………14分
22．解： 
（Ⅰ）由题意，得
所以，
…………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
－4
（-4，-2）
－2
1
+
0
－
0
+
极大值
极小值
函数值
－11
13
4
在[－4，1]上的最大值为13，最小值为－11。 …………………10分
（Ⅲ）
或
．所以存在
或
，使
．
……………15分
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