二次函数f(x)=

（I）若方程f(x)=0无实数根，求证：b>0；

（II）若方程f(x)=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f(－a)=；

（III）若方程f(x)=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得.

已知函数f（x）=2x³-3ax²+a+b（其中a，b为实常数）．
（I）讨论函数的单调区间；
（II） 当a＞0时，函数f（x）有三个不同的零点，证明：-a＜b＜a³-a；
（III） 若f（x）在区间[1，2]上是减函数，设关于X的方程f（x）=2x³-2ax²+3x+a+b的两个非零实数根为x₁，x₂．试问是否存在实数m，使得m²+tm+1≤|x₁-x₂|对任意满足条件的a及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．