题目列表(包括答案和解析)
(本题满分13分)已知f(x)= 
(x<-2)，f(x)的反函数为g(x)，点A(an， 
)在曲线y=g(x) (n??N*)上，且a1＝1。
（Ⅰ）求y＝g(x)的表达式；
（Ⅱ）证明数列{
}为等差数列。
(本题满分13分)
已知各项均为正数的等差数列
，其前n项和S
满足10S
= a + 5a + 6；等比数列
满足b = a，b = a，b = a
；数列
满足
．(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n项和T．
(本题满分13分) 已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过
、
、
三点. （1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于
、
的任意一点，
，当
内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；（3）若直线
与椭圆交于
、
两点，证明直线
与直线
的交点在定直线上并求该直线的方程．
(本题满分13分)已知数列{a
}对任意的n∈N,n≥2时有a=3a
+2,S
=18.(1)计算a
、a、a
、a
、a
的值；(2)若数列{T}有T=an+1-a,求T的表达式；(3)求数列{a}的通项公式.
(本题满分13分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=
(3n+Sn)对一切正整数n成立
（I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
（II）设
，求数列
的前n项和Bn；
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
A
A
A
A
B
B
A
D
二、填空题
11. 8 + ； 12. 60； 13.
； 14. 14； 15. 
.
三、解答题
16. 解：（1）依题意的
,所以
,于是
……………2分
由
解得
……………4分
把
代入
,可得
,所以
,
所以
,因为
,所以
综上所述，
…………7分
（2）令
，得
，又
故
函数
的零点是
……………10分
由
得
函数的单调递增区间是
……………13分
17. 解：（1）当
为
中点时,有
平面
………2分
证明:连结
交
于
,连结
∵四边形
是矩形 ∴为中点
又为中点,从而
……………………………4分
∵
平面,
平面∴平面……………6分
（2）建立空间直角坐标系
如图所示,则
,
,
,
,
……7分
所以
,
. ……………………………8分
设
为平面的法向量,则有
,即
令
,可得平面的一个法向量为
,
而平面
的一个法向量为
……………11分
所以
所以二面角
的余弦值为
……………13分
18. 解:
19．解：
（1）依题意双曲线方程可化为
则
=4
点P的轨迹是以
为焦点的椭圆，其方程可设为
由
得
则所求椭圆方程为
，
故动点P的轨迹E的方程为；………………3分
（2）设
,
则由
，可知
在
中
又
即
当且仅当
时等号成立．故
的最小值为
………………6分
（3）当
与
轴重合时，构不成角AMB，不合题意．
当
轴时，直线的方程为
，代入
解得
、
的坐标分别为
、
而
，∴
，猜测为定值．………8分
证明：设直线的方程为
，由
，得
∴
，
………10分
∴
∴ 为定值。(AB与点M不重合) ……13分
20．解：
（1）当
时,由
得
；当
时由
得
综上：当时函数的定义域为
；
当时函数的定义域为
………3分
（2）
………5分
令
时，得
即
，
①当
时，
时
，当
时，
，
故当 时，函数的递增区间为
，递减区间为
②当
时，
，所以，
故当时，在
上单调递增．
③当
时，若
，;若
，，
故当时，的单调递增区间为
;单调递减区间为
．
综上：当时，的单调递增区间为;单调递减区间为
当时，的单调递增区间为
;
当时，的单调递增区间为;单调递减区间为; …10分
（Ⅲ）因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为
若存在使得
成立，只须
，
即
………14分
21．（本题满分14分，共3小题，任选其中2题作答，每小题7分）
(1)选修4－2：矩阵与变换
解：由 M=
N=
可得
的特征多项式为
令
得矩阵的特征值为
再分别求得对应于特征值
的特征向量
…………7分
(2) 选修4－5：不等式选讲
（1）解：依题意可知
，
则函数
的图像如图所示：
（2）由函数的图像容易求得原不等式的解集为
…………7分
(3) 选修4－4：坐标系与参数方程
解：由
即
则易得
由
易得
圆心
到直线的距离为
又圆的半径为2 , 圆上的点到直线的距离的最小值为
…………7分
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