题目列表(包括答案和解析)
+
=1总有交点，则m的取值范围为（ ）
+
=1总有交点，则m的取值范围为（ ）
+
=1总有交点，则m的取值范围为| x2 |
| 2 |
| y2 |
| m |
| A、（1，2] |
| B、[1，2） |
| C、[1，2）∪[2，+∞） |
| D、（2，+∞） |
已知点
为圆
上的动点，且不在
轴上，
轴，垂足为
，线段
中点
的轨迹为曲线
，过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
，它与曲线交于
、
两点。
（I）求曲线的方程；
（II）试证明：在轴上存在定点
，使得
总能被轴平分
【解析】第一问中设
为曲线上的任意一点，则点
在圆
上，
∴
，曲线的方程为
第二问中，设点的坐标为
，直线的方程为
， ………………3分
代入曲线的方程
，可得 
∵
，∴
确定结论直线与曲线总有两个公共点．
然后设点,的坐标分别
, 
，则
，
要使被轴平分，只要
得到。
（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，
∴，曲线的方程为． ………………2分
（2）设点的坐标为，直线的方程为， ………………3分
代入曲线的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）
………………6分
设点,的坐标分别, ，则，
要使被轴平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
当
时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．
所以在x轴上存在定点
，使得
总能被
轴平分
1．A 2．C 3．B 4，C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 
11．B 12．D
1．
，在复平面对应的点在第一象限．
3．当
时，函数
在
上，
恒成立即
在上恒成立，可得
当
时，函数在上，恒成立
即
在上恒成立
可得
，对于任意
恒成立
所以
，综上得
．
4．解法一：联立
，得
．
方程总有解，需
恒成立
即
恒成立，得
恒成立
；又
的取值范围为
．
解法二：数形结合，因为直线
恒过定点（0，1），欲直线与椭圆
总有交点，当且仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内，即
又
的取值范围为
．
5．
6．（略）
7．展开式前二项的系数满足
可解得
，或
（舍去）．从而可知有理项为
．
8．
，欲使
为奇函数，须使
，观察可知，
、
不符合要求，若
，则
，其在
上是减函数，故B正确
当
时，
，其在上是增函数，不符合要求．
9．
等价于
画图可知
，故
．
10．如图甲所示．设
，点
到直线
的距离为
则由抛物线定义得
，由点在双曲线上，及双曲线第一定义得
，又由双曲线第二定义得
，解之得
．
11．由巳知中奖20元的概率
；中奖2元的概率
，中奖5元的概率
，由上面知娱乐中心收费为1560元．付出
元，收入
元，估计该中心收入480元．
12．设
中点为
，连
．由已知得
平面
，作
，交
的延长线于
，莲
．则
为所求，设
，则
，在
中可求出
，则
．
二、
13．
．提示：可以用换元法，原不等式为
也可以用数形结合法．
令
，在同一坐标系内分别画出这两个函数的图象，由图直观得解集．
14．12
．提示：经判断，
为截面圆的直径，再由巳知可求出球的半径为
．
15．
．提示：由于
得
解得
，又
所以，当
时，
取得最小值．
16．①②④
三、
17．懈：
，由正弦定理得，
又
，
，化简得
为等边三角形．
说明；本题是向量和三角相结合的题目，既考查了向量的基本知识，又考查了三角的有关知识，三角形的形状既可由角确定。也可由边确定，因此既可从角入手，把边化为角；也可从边入手，把角化为边来判断三角形的形状．
18．解：（1）分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、 “客人游览丙景点”为事件
、
、
．由已知、、相互独立，
，客人游览的景点数的可能取值为0，1，2．3，相应地客人没有游览的景点的可能取值为3，2，1，0，
的取值为1，3，且
的分布列为
1
3
0．76
0．24
．
（2）解法一：
在
上单凋递增，要使在上单调递增，
当且仅当
，即
．从而
．
解法二：当
时，
在单调递增当
时，
在不单调递增，
．
19．解：（1）因
故
是公比为
的等比数列，且
故
．
（2）由
得
注意到
，可得
，即
记数列
的前
项和为
，则
两式相减得：
故
从而
．
20．解：（1）如图所示，连接
因为
平面
，平面
平面
，平面平面所以
；又
为
的中点，故为
的中点
底面
为
与底面所成的角
在
中，
所以与底面所成的角为45°．
（2）解珐一；如图建立直角坐标系
则
， 
设
点的坐标为
故
点的坐标为
故
．
解法二：
平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）设点、
的坐标分别为
、
点
的坐标为
当
时，设直线的斜率为
直线过点
的方程为
又已知
①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+④式得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得点的坐标满足方程
⑦
当
时，不存在，此时平行于
轴，因此的中点一定落在
轴上，即的坐标为
,显然点(
，0）满足方程⑦
综上所述，点的坐标满足方程
设方程⑦所表示的曲线为
则由
,
得
因为
，又已知
，
所以当
时．
，曲线与椭圆有且只有一个交点，
当
时，
，曲线与椭圆没有交点，因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内，故点的轨迹方程为
（2）由
解得曲线与轴交于点（0，0），（0，
）
由
解得曲线与轴交于点（0，0）．（，0）
当
，即点为原点时，（，0）、（0，）与（0．0）重合，曲线与坐标轴只有一个交点（0，0）．
当
，且
，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点（0，）与（0，0），同理，当
且
时，曲线与坐标轴有两个交点（，0）、（0，0）．
当，且时，即点不在椭圆外，且不在坐标轴上时，曲线与坐标轴有三个交点（，0）、（0，）与（0，0）．
22．解：（1）由
故直线的斜率为1．切点为
，即（1，0），故的方程为：
，
∴直线与
的图象相切．等价于方程组
，只有一解，
即方程
有两个相等实根．
．
（2）
，由
，
，当
时，
是增函数。即
的单调递增区间为（
，0）．
（3）由（1）知，
，令
由
令
，则
当变化时，
的变化关系如下表：
（
）
ㄊ
0
极大植ln2
（，0）
ㄋ
0
0
极小植
（0，1）
ㄊ
1
0
极大值ln2
（1，
）
ㄋ
据此可知，当
时，方程有三解
当
，方程有四解
当
或
时，方程有两解
当
时，方程无解．
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