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    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）

    已知函数。

    （1）证明：

    （2）若数列的通项公式为，求数列 的前项和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （3）设数列满足：，设，

    若（2）中的满足对任意不小于2的正整数，恒成立，

    试求的最大值。

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    （本小题满分14分）已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；

    （Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.

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    （本小题满分14分）设函数

     （1）求函数的单调区间；

     （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

     （3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。

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    （本小题满分14分）

    已知，其中是自然常数，

    （1）讨论时, 的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （2）求证：在（1）的条件下，；

    （3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

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    （本小题满分14分）

    设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

    （I）求数列的通项公式；

    （II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

    （III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

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    一、选择题（每小题5分，共60分）

    1C、 2C、 3B、 4C、 5C、 6D、 7A、 8B、 9C、 10D、 11A、 12A

    二、填空题（每小题4分，共16分）

    13）5   14）2.6   15）48   16）①③④

    三、解答题（本题共6小题，满分共74分）

    17、解：（1）因为。

    所以1―2     ……………2分

    所以

    因为

    所以   ……………………………6分

    （2）……8分

    因为

    …10分

    所以，原式………………………12分

    18、解：（Ⅰ）当n=1时，………3分

    （Ⅱ）（方法一）记输入n时，①中输出结果为，②中输出结果为’则

    ……………5分

    所以

    …………

    ……………8分

    （方法二）猜想    ……………5分

    证明：（1）当n=1时，结论成立

    （2）假设当n=k

    则当n=k+1时，

    所以当 n=k+1时，结论成立

    故对，都有成立  ………………8分

         因为……………10分

    所以

           ……………………………12分

    19、解：（方法一）证明：设BD交AC于点O，连接MO，OF

    因为四边形ABCD是正方形

    所以AC⊥BD，AO=CO

    又因为矩形ACEF，EM=FM，

    所以MO⊥AO

    因为正方形ABCD和矩形ACEF所

    在平面垂直

    平面ABCD平面ACEF=AC

    所以MO⊥平面ABCD

    所以AM⊥BD

    在,

    所以BD=

    所以AO=1，

    所以四边形OAFM是正方形，所以AM⊥OF

    因为              …………………6分

     

     

    （Ⅱ）设AM、OF相交于Q，过A作AR⊥DF于R，连接QR，因为AM⊥平面BDF，

    所以QR⊥DF，则∠ARQ为二面角A―DF―B的平面角…………………9分

    Rt△ADF中，AF=1，AD=，所以

    Rt△AQR中，QR

    所以二面角A―DF―B的余弦值为        ………………………12分

    （方法二）以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系C―xyz，连接BD则A（，，0），B（0，，0）。

    D（，0，0）

    F（，，1），M（，，1）

    所以

    所以

    所以所以AM⊥平面BDF…………6分

    （Ⅱ）平面ADF的法向量为

    平面BDF的法向量………………8分

        ……………………11分

    所以二面角A―DF―B的余弦值为。    ……………………12分

    20、解：设该人参加科目A考试合格和补考为时间，参加科目B考试合格和补考合格为时间相互独立。

    （Ⅰ）设该人不需要补考就可获得证书为事件C，则C=

    （Ⅱ）的可能取值为2，3，4.

    则P（

      P

      P      …………………8分

    所以，随即变量的分布列为

      

    2

    3

    4

    P

    所以      ………………12分

    21、解：（Ⅰ）设所求双曲线C的方程为-=1，

    由题意得：

    所以，所求曲线C的方程为          ……………3分

    （Ⅱ）若弦PQ所在直线斜率K存在，则设其方程为y=k (x-2)

    由

    设点P

    解得

    此时点R到y轴的距离

    而当弦PQ所在直线的斜率不存在时，点R到Y轴的距离为2，

    所以，点R到Y轴距离的最小值为2。        ………………8分

    （Ⅲ）因为直线L:x=m与以PQ为直径的圆相切

    所以双曲线离心率e=，右准线方程为

    所以|PQ|=|PF|+|QF|=2

    所以，所以

    因为       ………………12分

    22、解：（1）因为

    所以

    取BC的中点D，则

    因为

    所以，点0在BC边的中线上                ……………………………4分

    （Ⅱ）因为

    所以

    所以

    所以

    所以               ………………………………5分

    因为

    又

    =

    所以       ……………………8分

    因为

    所以            …………………………………10分

    （Ⅲ）由题意知

    在(0,+∞)上恒成立。

    令h(x)=

    所以

    所以h(x)在（0，+∞）内为增函数，所以 h(x)>h(0)=1   …………………13分

    所以     …………14分

     

     


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