设f（k）是满足不等式x²-3•g（k）•x+2g²（k）≤0的自然数x的个数，其中g（k）=2^k-1（k∈N^*）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ） 求f（k）的解析式；
（Ⅲ）记Sn=

n

i=1

f(i)，令P_n=n²+n-1（n∈N^*），试比较S_n与P_n的大小．

已知f（x）=x²+2x，数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=f′（a_n）-n-1，数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=f（b_n）．
（1）求证：数列{a_n-n}为等比数列；
（2）令cn=

1

an-n-1

，求证：c2+c3+…+cn＜

2

3

；
（3）求证：

1

3

≤

1

1+b1

+

1

1+b2

+…+

1

1+bn

＜

1

2

设f（k）是满足不等式x²-3•g（k）•x+2g²（k）≤0的自然数x的个数，其中g（k）=2^k-1（k∈N^*）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ） 求f（k）的解析式；
（Ⅲ）记Sn=，令P_n=n²+n-1（n∈N^*），试比较S_n与P_n的大小．

已知在数列{a_n}中，a1=

1

2

，S_n是其前n项和，且S_n=n²a_n-n（n-1）．
（1）证明：数列{

n+1

n

Sn}是等差数列；
（2）令b_n=（n+1）（1-a_n），记数列{b_n}的前n项和为T_n．
①求证：当n≥2时，Tn2＞2(

T2

2

+

T3

3

+…+

Tn

n

)；
②）求证：当n≥2时，bn+1+bn+2+…+b2n＜

4

5

-

1

2n+1

．