已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+S_n-1=k

a

2 n

+2（n≥2，n∈N*，k＞0），a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，是否存在常数k，使得T_n＜2对所有的n∈N*都成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知正项数列{ a_n }满足S_n+S_n-1=

2 ta n

+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数列{ a_n }的前n项和．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）记数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N^*都成立．求证：0＜t≤1．

已知正项数列{ a_n }满足S_n+S_n-1=

2 ta n

+2 （n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数列{ a_n }的前n项和．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）记数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N^*都成立．求证：0＜t≤1．