如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．
（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大小；
（3）设点M在棱PC上，且

PM

MC

=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．

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如图：已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E为棱BC的中点，PD=1．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求异面直线PB和DE所成角的大小．（结果用反三角表示）

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如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

6

2

．
（1）证明：AE⊥PD；
（3）求异面直线PB与AC所成的角的余弦值；
（4）若AB=2，求三棱锥P-AEF的体积．

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如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中点．
（1）求二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在点N，使DN∥平面AMC，若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．

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如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

6

2

，求二面角E-AF-C的余弦值．

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1、B  2、B  3、D  4、D  5、A   6、D   7、B  8、C  9、A  10、B

11、12、13、14、15、16、-，0

17. 解：（1）∵，

∴，

∵，∴，∴，

∴。………………………………….6分

（2）∵，

，

∴，

∵，∴，∴，∴…….12分

18、的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列为：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

（2）

（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为

依题意，，即，解得 所以三等品率最多为

19、(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x²+2x,

x

(-∞,-2)

-2

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

由点在函数y=f′(x)的图象上,

    又所以

    所以,又因为′(n)=n²+2n,所以,

    故点也在函数y=f′(x)的图象上.

(Ⅱ)解:,

由得.

当x变化时,?的变化情况如下表:

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值.

20、（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为      E为BC的中点，所以AE⊥BC.

     又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.

（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以  当AH最短时，∠EHA最大，

即     当AH⊥PD时，∠EHA最大.

此时    tan∠EHA=

因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以    PA=2.

解法一：因为   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

        所以   平面PAC⊥平面ABCD.

        过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

        过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

       在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=,

       又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO?sin45°=,

       又    

       在Rt△ESO中，cos∠ESO=

       即所求二面角的余弦值为

21、（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．??????????????????????????????????? 2分

如图，设，其中，

且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，

化简得，

解得或．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，

．??????????????????????????????????????????????????? 9分

又，所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．?????????????????????? 12分

解法二：由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

，

当时，上式取等号．所以的最大值为．     12分

22、解法一：（Ⅰ），，，

又，是以为首项，为公比的等比数列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

．

取，

则．

原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）设，

则

，

当时，；当时，，

当时，取得最大值．

原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．