Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥DB，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．
（1）求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AB-C的大小；
（3）设点M在棱PC上，且

PM

MC

=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．

Answer 1

分析：（1）以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，要求两条异面直线所成的角，在两条异面直线上构造方向向量，根据两条向量的夹角得到结果．
（2）设出平面的法向量，根据法向量与平面上的两条相交直线对应的向量垂直，列出关系式，写出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角得到面面角．
（3）设出M点的坐标，根据三点共线与垂直，得到关于未知数的方程组，解出方程组得到点M的坐标，求出对应的λ的值．

解答：解：∵PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
各点坐标为O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），D（0，-1，0），P（0，0，

2

）．
（1）∵

PD

=(0，-1，-

2

)，

BC

=(-1，-2，0)，
∴

| PD |= 3 ，| BC |= 5

.

，

PD

•

BC

=2．
∴cos＜

PD

，

BC

＞=

PD • BC

| PD || BC |

=

2 15

15

．
故直线PD与BC所成的角的余弦值为cos(

PD

，

BC

)=

PD • BC

| PD || BC |

=

2 15

15

．
（2）设平面PAB的一个法向量，
由于

AB

=(-2，2，0)，

AP

=(-2，0，

2

)，
由

n• AB =0 n• AP =0

，得

x=y z= 2 x.

取n=(1，1，

2

)，又易知平面ABCD的一个法向量m=（0，0，1），
∴cos＜m，n＞=

m•n

|m|•|n|

=

2

2

．
又二面角P-AB-C不是钝角．
∴所求二面角P-AB-C的大小为45°
（3）设M（x₀，0，z₀），由于P，M，C三点共线，可得z0=

2

x0+

2

，，①
若PC⊥平面BMD成立
则必有

OM⊥PC

．
∴(-1，0，-

2

)•(x0，0，z0)=0．
∴x0+

2

z0=0.②
由①②知x0=-

2

3

，z0=

2

3

∴M=(- 2 3 ，0， 2 3 )

．∴λ=

PM

MC

=2.
故λ=2时，PC⊥平面BMD．

点评：本题考查空间中直线与平面之间的关系，用空间向量求解夹角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导转化成数字的运算，降低了本题的理论推导的难度．