数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样，往往起源于猜测中的发现，我们所发现的不一定对，但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后，当所发现的在逻辑上没有矛盾之后，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．
（1）尝试证明：
等腰三角形的探索中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．但是当时并未说明这个结论的合理．现在我们学些了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则CD=

1

2

AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．
（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图2所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．
②如图3所示，?ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，试说明平行四边形ABCD是矩形．

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如图1所示，在正方形ABCD中，AB=1，

AC

是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点．
（1）当∠DEF=45°时，求证：点G为线段EF的中点；
（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）图2所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△D₁EF，当EF=

5

6

时，讨论△AD₁D与△ED₁F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由．

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如图1，在?ABCD中，AD=a，AB=

3

a，a为定值，线段AD绕着点A旋转，旋转时∠DAB为锐角，经过A、D、B三点的圆⊙O和边CD相交于点F，点F不与点D重合．
（1）求∠DAB的范围；
（2）如果AD旋转到使得AB刚好成为⊙O的直径（如图2所示），请你验证此时∠DAB的度数在第（1）问所求的范围内，并证明：此时点F恰好是DC的一个三等分点．

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在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．
活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分的面积．

小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：

 

．
活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长．

小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：

 

．AE的长是

 

．
活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．

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一．选择题

1. D  2.A   3.C   4.B   5.A   6.D   7.A   8.A   9.B   10.A

二．填空题

11.  4（m++1）(m-+1)    12. －8   13．25cm,  

14.    15.  55³   16.  10

三．解答题

17．解： ，   （2分）

             （4分）

                    （5分）

18．解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等

（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可以得满分．

19．解：（1）矩形，矩形；

或菱形；

或直角梯形，等．

（2）选择是矩形．

证明：∵ABCDEF是正六边形，

，，．

同理可证．

四边形是矩形．

选择四边形是菱形．

证明：同理可证：，，

，．

四边形是平行四边形．

又∵BC=DE，，，

．

．

四边形是菱形．

选择四边形是直角梯形．

证明：同理可证：，，又由与不平行，

得四边形是直角梯形．

20．解：（1）_甲=（万元）；

_乙=（万元）；  ……………………(2分)

　　甲、乙两商场本周获利都是21万元； ……………………………………(4分)

　　（2）甲、乙两商场本周每天获利的折线图如图2所示：

　　…………………………………(6分)

　　（3）从折线图上看到：乙商场后两天的销售情况都好于甲商场，所以，下周一乙商场获利会多一些． ……………………………(8分)

21．解：（1）

          ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（2）由题意得：

即购种树不少于400棵????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（3）

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

随的增大而减小

当时，购树费用最低为（元）

当时，

此时应购种树600棵，种树300棵???????????????????????????????????????????????????????? 8分

22．（1）树状图略..（2）不公平，理由如下：法一：由树状图可知，，，．

所以不公平.法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平.法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率. P(奇数)＝，P(偶数)＝，所以不公平.可将第二道环上的数4改为任一奇数.（3）设小军x次进入迷宫中心，则2x+3(10－x)≤28，解之得x≥2.所以小军至少2次进入迷宫中心.

23．解：（1）∵，，

∴是等边三角形．   

∴．

（2）∵CP与相切，          

∴．

∴．

又∵（4，0），∴．∴．

∴．

（3）①过点作，垂足为，延长交于，

∵是半径， ∴，∴，

∴是等腰三角形．

又∵是等边三角形，∴＝2 ．

②解法一：过作，垂足为，延长交于，与轴交于，

∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．

∴是等腰三角形，

过点作轴于，

在中，∵，

∴．∴点的坐标（4＋，）．

在中，∵，

∴．∴点坐标（2，）．　

设直线的关系式为：，则有

      解得：

∴．

当时，．

 ∴．　

解法二： 过A作，垂足为，延长交于，与轴交于，

∵是圆心， ∴是的垂直平分线． ∴．

∴是等腰三角形．

∵，∴．

∵平分，∴．

∵是等边三角形，， ∴．

∴．

∴是等腰直角三角形．

∴．

∴．

24．（1）解：

           （2分） 解得        （2分）

   （2）      (3分)

              （5分）

   当      

           （7分）

   当      

           （9分）

           （10分）

25．解：如图，

（1）点移动的过程中，能成为的等腰三角形．

此时点的位置分别是：

①是的中点，与重合．

②．③与重合，是的中点．（4分）

（2）在和中，

，，

．

又，

．

．

，，，

．(8分)

（3）与相切．

，

．

．

即．

又，

．

．

点到和的距离相等．

与相切，

点到的距离等于的半径．

与相切．（12分）