Question

如图1，在?ABCD中，AD=a，AB=

3

a，a为定值，线段AD绕着点A旋转，旋转时∠DAB为锐角，经过A、D、B三点的圆⊙O和边CD相交于点F，点F不与点D重合．
（1）求∠DAB的范围；
（2）如果AD旋转到使得AB刚好成为⊙O的直径（如图2所示），请你验证此时∠DAB的度数在第（1）问所求的范围内，并证明：此时点F恰好是DC的一个三等分点．

Answer 1

分析：（1）连接DB，当F与D重合时，即CD与圆相切，根据平行四边形的性质推出∠DAB=∠DBA，求出等腰三角形DAB，求出∠DAB的度数即可；
（2）求出cos∠DAB的值，即可推出∠DAB的大小；根据CD和CF的长，根据DF=CD-CF，代入求出即可．

解答：（1）解：连接DB，
当F与D重合时，此时CD与圆相切．
∴∠CDB=∠DAB，
∵平行四边形ABCD，
∴CD∥AB，
∴∠CDB=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴△ADB是等腰三角形，底为根号

3

a，腰为a
∴cos∠DAB=

3 a 2

a

=

3

2

，
∴∠DAB=30°，
即∠DAB的范围为：30°＜∠DAB＜90°．

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径r=

1

2

AB=

3

2

a
∵∠ADB=90°，
∴cos∠DAB=

AD

AB

=

1

3

=

3

3

＜

3

2

，
∴∠DAB在30°＜∠DAB＜90°的范围内．
∵DF=AB=2AE=AB-2ADcos∠DAB=

3

a-2a×

3

3

=

3

3

a=

1

3

AB=

1

3

CD，
∴此时点F恰好是DC的一个三等份点．

点评：本题综合考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，圆心角、弧、弦之间的关系，平行线的性质等知识点，此题综合性比较强，对学生有较高的要求．