已知函数f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

 

已知

（1）求函数在上的最小值

（2）对一切的恒成立，求实数a的取值范围

（3）证明对一切，都有成立

【解析】第一问中利用

当时，在单调递减，在单调递增，当，即时，，

第二问中，，则设，

则，单调递增，，，单调递减，，因为对一切，恒成立， 

第三问中问题等价于证明，，

由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得

设，，则，易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切，都有成立

解：（1）当时，在单调递减，在单调递增，当，即时，，

                 …………4分

（2），则设，

则，单调递增，，，单调递减，，因为对一切，恒成立，                                             …………9分

（3）问题等价于证明，，

由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得

设，，则，易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切，都有成立

 

设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点（）.

（1） 当时，试写出抛物线上的三个定点、、的坐标，从而使得

；

（2）当时，若，

求证：；

（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：

“若，则.”

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；

② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.

【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

【解析】第一问利用抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得到

第二问设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

第三问中①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；

解：（1）抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

 

因为，所以，

故可取满足条件.

（2）设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

   又因为

；

所以.

（3） ①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；，

则，

.

故，，，是一个当时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设，分别过作

抛物线的准线的垂线，垂足分别为，

由及抛物线的定义得

，即.

因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以只要将这点都取在轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则

，

而，所以.

（说明：本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点，均为反例.）

③ 补充条件1：“点的纵坐标（）满足 ”，即：

“当时，若，且点的纵坐标（）满足，则”.此命题为真.事实上，设，

分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由，

及抛物线的定义得，即，则

，

又由，所以，故命题为真.

补充条件2：“点与点为偶数，关于轴对称”，即：

“当时，若，且点与点为偶数，关于轴对称，则”.此命题为真.（证略）

 

已知各项都不为零的数列的前n项和为，，向量，其中N^*，且∥．

（Ⅰ）求数列的通项公式及；

（Ⅱ）若数列的前n项和为，且（其中是首项，第四项为的等比数列的公比），求证：．

【解析】本试题主要考查了数列的通项公式和前n项和公式的运用。

（1）因为，对n=1, 分别求解通项公式，然后合并。利用，求解

（2）利用

裂项后求和得到结论。

解：(1)  ……1分

当时，……2分

（）……5分

……7分

……9分

证明：当时，

当时，

设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+，函数f（x）的图像与x轴的交点也在函数g（x）的图像上，且在此点处f（x）与g（x）有公切线.[来源:学。科。网]

（Ⅰ）求a、b的值； 

（Ⅱ）设x>0，试比较f（x）与g（x）的大小.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

【解析】第一问解：因为f（x）=lnx，g（x）=ax+

则其导数为

由题意得，

第二问，由（I）可知，令。

∵，  …………8分

∴是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，            …………9分

∴当时，，有；当时，，有；当x=1时，，有

解：因为f（x）=lnx，g（x）=ax+

则其导数为

由题意得，

（11）由（I）可知，令。

∵，  …………8分

∴是（0，+∞）上的减函数，而F（1）=0，            …………9分

∴当时，，有；当时，，有；当x=1时，，有