设直线y=x+2与抛物线y=ax²（a＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线在N点处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得NA⊥NB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

设直线l：y=x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且

AF

=2

FB

，求椭圆的方程．

设直线l：y=x+m，双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，双曲线的离心率为

3

，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且

OP

•

OQ

=-3，

PR

=3

RQ

.
（1）证明：4a²=m²+3；
（2）求双曲线E的方程；
（3）若点F是双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上两点，且

MF

=λ

FN

，求实数λ的取值范围．

设直线l₁：y=kx，l₂：y=-kx，圆P是圆心在x轴的正半轴上，半径为3的圆．
（Ⅰ）当k=

3

4

时，圆P恰与两直线l₁、l₂相切，试求圆P的方程；
（Ⅱ）设直线l₁与圆P交于A、B，l₂与圆P交于C、D．
（1）当k=

1

2

时，求四边形ABDC的面积；
（2）当k∈（0，

3

4

）时，求证四边形ABDC的对角线交点位置与k的取值无关．

设直线x=1是函数f（x）的图象的一条对称轴，对于任意x∈R，f（x+2）=-f（x），当-1≤x≤1时，f（x）=x³．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）当x∈[3，7]时，求函数f（x）的解析式．