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    (Ⅱ)若数列满足.证明:是等差数列, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    等差数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三列中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一行．
    第一列 第二列 第三列
    第一行 -3 3 1
    第二行 5 0 2
    第三行 -1 2 0
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）若数列{bn}满足：bn=
    an+2
    2n
    ，设数列{bn}的前n项和Sn（n∈N*），证明：Sn＜2．

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    等差数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三列中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一行．
    第一列第二列第三列
    第一行-331
    第二行502
    第三行-120
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）若数列{bn}满足：数学公式，设数列{bn}的前n项和Sn（n∈N*），证明：Sn＜2．

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    已知数列满足，。
    （1）求、、；
    （2）是否存在实数t，使得数列是公差为-1的等差数列，若存在求出t的值，否则，请说明理由；
    （3）记，数列的前n项和为Sn，求证：。

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    若数列{an}是首项为6-12t，公差为6的等差数列；数列{bn}的前n项和为Sn=3n-t．
    （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （2）若数列{bn}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数Cn，使得bn+1=a，并求数列{cn}的前n项和Tn；
    （3）设数列{dn}满足dn=an•bn，且{dn}中不存在这样的项dt，使得“dk＜dk-1与dk＜dk+1”同时成立（其中k≥2，k∈N*），试求实数t的取值范围．

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    若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=是公差为8的准等差数列．
    （I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
    （Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

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    一、选择题：

    1．D  2．A 3  B  4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A  10．B  11.A  12.B

    二、填空题：

    13．12          14．    15   3          16．，①②③④    

    三、解答题：

    17．解：法（1）：①∵=(1+cosB，sinB)与=（0，1）所成的角为

    ∴与向量=（1，0）所成的角为                                                   

    ∴，即                                                   （2分）

    而B∈（0，π），∴，∴，∴B=。                               （4分）

    ②令AB=c，BC=a，AC=b

    ∵B=，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=，∵a，c>0。             （6分）

    ∴a2+c2≥，ac≤     （当且仅当a=c时等号成立）

    ∴12=a2+c2-ac≥                                           （8分）

    ∴(a+c)2≤48，∴a+c≤，∴a+b+c≤+=（当且仅当a=c时取等号）

    故ΔABC的周长的最大值为。                                                          （10分）

    法2：（1）cos<，>=cos

    ∴，                                                                                   （2分）

    即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B=     （4分）

    （2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周长为，则=a+c+

    而a=b?，c=b?                                      （2分）

    ∴==

    =                                （8分）

    ∵A∈（0，），∴A-，

    当且仅当A=时，。                                         （10分）

     18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC平面AC，∴PA⊥BC

    ∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC

    （2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1

    ∴ΔADC为等边三角形，且AC=1，取AC的中点O，则DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，

    ∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，过O作OH⊥PC，垂足为H，连DH

    由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO为二面角D-PC-A的平面角

    由OH=，DO=，∴tan∠DHO==2

    ∴二面角D-PC-A的大小的正切值为2。

    （3）设点B到平面PCD的距离为d，又AB∥平面PCD

    ∴VA-PCD=VP-ACD，即

    ∴  即点B到平面PCD的距离为。

    19．解：（1）第一和第三次取球对第四次无影响，计第四次摸红球为事件A

    ①第二次摸红球，则第四次摸球时袋中有4红球概率为

                                                                                （2分）

    ②第二次摸白球，则第四次摸球时袋中有5红2白，摸红球概率为

                                                                               （3分）

    ∴P(A)=，即第四次恰好摸到红球的概率为。（6分）（注：无文字说明扣一分）

    （2）由题设可知ξ的所有可能取值为：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=；

    P（ξ=1）=；P（ξ=2）=；

    P（ξ=3）=。故随机变量ξ的分布列为：

    ξ

    0

    1

    2

    （10分）

    P

    ∴Eξ=（个），故Eξ=（个）                                    （1

    20.解：（1），

    故数列是首项为2，公比为2的等比数列。

    ，…………………………………………4分

    （2），

    ①

    ②

    ②―①得，即③

    ④

    ④―③得，即

    所以数列是等差数列……………………9分

    （3）………………………………11分

    设，则

    …………13分

    21．解：（1）设，.

    整理得AB：bx-ay-ab=0与原点距离，又，

    联立上式解得b=1，∴c=2，.∴双曲线方程为.

    （2）设C（x1，y1），D（x2，y2）设CD中点M（x0，y0），

    ∴，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.

    联立直线与双曲线的方程得，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且.

    ∴ ，    ，

    ∴∴，∴AM⊥CD.

    ∴，整理得，

    则且k2>0，，代入中得.

    ∴.

    22．解：（1）∵(x)=3ax2+sinθx-2

    由题设可知：即∴sinθ=1。（2分）

    从而a=，∴f(x)=，而又由f(1)=得，c=

    ∴f(x)=即为所求。                                                     （4分）

    （2）(x)=x2+x-2=(x+2)(x-1)易知f(x)在（-∞，-2）及（1，+∞）上均为增函数，在（-2，1）上为减函数。

    （i）当m>1时，f(x)在[m，m+3]上递增。故f(x)max=f(m+3)，f(x)min=f(m)

    由f(m+3)-f(m)=(m+3)3+(m+3)2-2(m+3)-=3m2+12m+得-5≤m≤1。这与条件矛盾故舍。                                                                             （6分）

    （ii）当0≤m≤1时，f(x)在[m，1]上递减，在[1，m+3]上递增。

    ∴f(x)min=f(1)，f(x)max={f(m)，f(m+3)}max

    又f(m+3)-f(m)=3m2+12m+=3(m+2)2->0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)

    ∴|f(x1)-f(x2)| ≤f(x)max-f(x)min=f(m+3)-f(1) ≤f(4)-f(1)=恒成立

    故当0≤m≤1原式恒成立。                                                                       （8分）

    综上：存在m且m∈[0，1]合乎题意。                                                   （9分）

    （3）∵a1∈(0，1，∴a2∈，故a2>2

    假设n=k（k≥2，k∈N*）时，ak>2。则ak+1=f(ak)>f(2)=8>2

    故对于一切n（n≥2，n∈N*）均有an>2成立。                                    （11分）

    令g(x)=

    得=

    当x∈（0，2）时(x)<0，x∈（2，+∞）时，(x)>0，

    ∴g(x)在x∈[2，+∞时为增函数。

    而g(2)=8-8ln2>0，即当x∈[2，+∞时，g(x)≥g(2)>0恒成立。

    ∴g(an)>0，（n≥2）也恒成立。即：an+1>8lnan（n≥2）恒成立。

    而当n=1时，a2=8，而8lna1≤0，∴a2>8lna1显然成立。

    综上：对一切n∈N*均有an+1>8lnan成立。                             

     

     

     

     


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